Resumen de Contribución a la teoría cualitativa de sistemas dinámicos

Isabel Checa Camacho

• español

  En esta memoria abordamos tres problemas fundamentales dentro de la teoría cualitativa de sistemas dinámicos.

  En un sentido amplio, el objetivo de la teoría de sistemas dinámicos es determinar la estructura del conjunto de soluciones de sistemas que modelan la evolución a través del tiempo de determinados fenómenos.

  En primer lugar, consideramos el problema de determinar la expresión analítica más simple en la que se puede transformar un sistema autónomo, mediante cambios en las variables de estado y en en el tiempo y con ello calcular el conjunto de invariantes de un campo vectorial. Este concepto es referido por algunos autores como forma normal única ( o hipernormal). Demostraremos que estas simplificaciones se pueden llevar a cabo mediante procedimiento lineales y proporcionamos un método para obtener mayores simplificaciones en la forma normal, llegando con ello a calcular la forma normal única.

  Otro problema que hemos abordado en esta memoria es el problema de la reversibilidad orbital de un sistema.

  Consiste, a grandes rasgos, en determinar si existe un cambio de variables en las variables de estado y una reparametrización en el tiempo de modo que el sistema resultante sea reversible respecto de una involución lineal. Adaptamos las ideas de la teoría de formas normales bajo equivalencia para caracterizar la reversibilidad orbital. Centrándonos en sistemas planos, la idea es reducir el sistema a una pre-forma normal y después analizar la reversibilidad respecto de los ejes (axis-reversibilidad) módulo orbital equivalencia, a través de las propiedades de las curvas invariantes del campo vectorial. Estas técnicas son aplicadas para calcular familias de centros. Completamos algunas familias de centros nilpotentes que habían sido parcialmente caracterizadas en la literatura.

  Por último, hemos abordado el problema de la integridad analítica de un campo vectorial plano. Este problema, en campos planos cuya primera componente cuasi-homogénea es hamiltoniana y su función de Hamilton tiene factores simples en su factorización en C [x,y], está complemente resulto en [1]. Sin embargo, cuando la función de Hamilton de la primera componente tiene factores múltiples en C [x,y] es un problema abierto. En este caso es donde se enmarca nuestro problema. Hemos considerado un sistema nilpotente degenerado, para el que obtenemos una orbital equivalente forma normal, que posteriormente transformamos en un sistema cuya primera componente cuasi-homogénea es irreducible. Proporcionamos condiciones necesarias para la integrabilidad del sistema.

• English

  Throughout this memory, we approach three fundamental problems in the qualitative theory of dynamical systems. In a generai sense, the objective of the theory of dynamical systems is to determine the structure of the solutions set of systems that model the evolution over time of particular phenomena. Firstly, we consider the problem of determining the simplest analytical expression in which an autonomous system can be transformed, by means of changes in the state and time variables, and thus to compute the set of invariants of a vector field. This concept is referred to by some authors as a unique normal form (or hypernormal form). We will show that these simplifications can be carried out using linear procedures and we provide a method to obtain greater simplifications in the normal form, thereby arriving to calculate the unique normal form. Another problem that we have approached in this memory is the problem of the orbital reversibility of a system. It consists, roughly, in determining whether there is a change of variables in the state variables and a time reparametrization such that the resulting system is reversible with respect to a linear involution. We adapt the ideas of the normal form theory under equivalence to characterize the orbital reversibility. If we focus in planar systems, the idea is to reduce the system to a pre-normal form and then analyze the reversibility with respect to the axis (axis-reversibility) modulo orbital equivalence, through the properties of the invariant curves of the vector field. These techniques are applied to calculate families of centers. We complete some families of nilpotent centers that had been partially characterized in the literature. Finally, we have addressed the problem of the analytical integrability of a planar vector field. This problem, in planar vector fields whose first quasi-homogeneous component is Hamiltonian and its Hamiltonian function has simple factors in its factorization in C[x,y], is completely solved in [1]. However, when the Hamiltonian function of the first component has multiple factors in C[x,y] is an open problem. In this case is where our problem is framed. We have considered a degenerate nilpotent system, for which we obtain an equivalent orbital normal form, which we subsequently transform into a system whose first quasi-homogeneous component is irreducible. We provide necessary conditions for the integrability of the system.