Resumen de Problemas críticos y supercríticos de reacción-difusión

Juan Antonio Aguilar Crespo

• Se tratan diferentes problemas críticos y supercríticos para el p-Laplaciano con término de reacción de la forma Lamda V(x)f(u), donde V epsilon L 9(omega) y f es una función no lineal, con omegaCR N dominio acotado, En particular se estudian los casos elípticos: 1. Problema de Dirichlet con dato, de borde cero, V cambiando de signo, f(u)=e u; se estudia la existencia y multiplicidad de soluciones, dando una condición suficiente para la existencia de solución positiva con V cambiando de signo.

  2. Problema radial en la bola unidad de R N con V(x)=(x)sigma, sigma -p para a) f(u)=e u b) f(u)=u q-1+u alfa-1, 1<q menor o igual, alfa p*=Np/(N-p); en ambos casos se estudia la existencia de solución singular y el comportamiento global de la rama de soluciones positivas. 3. Pérdida de compacidad (blow-up) de sucesiones de soluciones de la ecuación -Delta N uK=Vk (x)e uk bajo la hipótesis de acotación uniforme de Vk menor o igual 0 en Lq (omega) y de e uK en L q' (omega), extendiendo a dimensión N 2 un resultado de Brézis y Merle para N=2.

  También se estudia el problema de Cauchy parabólico 4.

  V(x)=(x)-p, f(u)=u p-1; se analiza la existencia de solución global en función de la relación de lamda con la constante de una desigualdad de Hardy y el comportamiento de extinción en tiempo finito.