Resumen de Hadamard full propelinear codes of type q. Rank and kernel
Los sistemas de comunicación se nutren de técnicas algebraicas y combinatóricas para recuperar la información en presencia de ruido e interferencias. Los códigos Hadamard constituyen una familia relevante en la teoría de códigos y ellos han sido objeto de estudio desde el siglo XX, por científicos como Turyn. Aunque estos códigos no son lineales en general, ellos poseen propiedades algebraicas y combinatóricas que permiten codificar, transmitir y decodificar un mensaje a través de un canal ruidoso. Los mecanismos más potentes para construir códigos de Hadamard con una estructura de grupo algebraico subyacente son: las matrices de Hadamard cocíclicas, los conjuntos de diferencias relativas, los grupos de Hadamard y los códigos Hadamard properlineales.
El propósito de esta tesis es explorar las propiedades algebraicas y combinatóricas de una subfamilia de los códigos Hadamard properlineales, que denominamos códigos Hadamard full properlineales. Nuestro primer objetivo es estudiar las relaciones existentes y las conexiones entre los grupos de Hadamard y los códigos Hadamard full properlineales. Además, en esta nueva subfamilia de códigos encontramos estructuras full properlineales que generan ciertas matrices de Hadamard no simétricas; en concreto, estamos hablando de las familias que tienen asociado el grupo dicíclico $Q_{8n}$ y el grupo $C_n\times Q_8$. Estas matrices de Hadamard son conocidas como las matrices de Williamson y las matrices de Ito.
Para ayudar a decidir cuando dos códigos son equivalentes usaremos dos invariantes de los códigos: el rango y la dimensión del kernel. Estos parámetros nos aportan información sobre los códigos no lineales; a modo de ejemplo, son un indicador para ver cuánto dista un código binario de ser lineal. Concretamente, estudiaremos el rango y la dimensión del kernel de ambas familias y utilizaremos técnicas iteradas que permiten crear códigos Hadamard full properlineales de mayor orden.
