Improving the numbers: a new generation of ode solvers and computer assisted proofs

• Autores: Marcos Rodríguez Rodríguez
• Directores de la Tesis: Roberto Barrio Gil (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Zaragoza ( España ) en 2011
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Florentino Borondo Rodríguez (presid.) , Sergio Serrano Pastor (secret.) , Daniel Wilczak (voc.) , Fernando Casas Pérez (voc.) , Warmick Tucker (voc.)
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• Resumen

  • En las últimas décadas, el estudio de los sistemas dinámicos ha adquirido gran importancia. En el caso de los sistemas dinámicos continuos, como puede ser la dinámica de los planetas (desde modelos simples de dos cuerpos, pasando por problemas de tres cuerpos [Are63], o todo el sistema solar [BT87]), el estudio de la rotación de un sólido rígido (cuya formulación fue propuesta por Jacobi [Jac49]), o incluso el estudio de la evolución meteorológica (estudiado por Edward Lorenz [Lor69], y cuya formulación más sencilla genera la famosa mariposa de Lorenz), todos ellos se pueden formular mediante sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

    Para obtener una precisa descripción del comportamiento del sistema es necesario un estudio de estas ecuaciones que va más allá de su simple resolución numérica (pues analíticamente no es posible). Para estudiar la estabilidad a largo plazo de soluciones inestables, como aparecen en el sistema de Lorenz, sin que la solución caiga en algún atractor caótico, es necesaria una integración con más precisión de la que nos provee de manera básica un ordenador (16 dígitos), y es necesario utilizar métodos capaces de ser implementados con esta precisión.

    Además, muchas herramientas numéricas empleadas para el estudio de sistemas dinámicos necesitan conocer la evolución de la dependencia de la solución respecto a las condiciones iniciales del sistema o respecto a algún parámetro del sistema (ecuaciones de sensibilidad o también llamadas ecuaciones variacionales). Su formulación puede ser analítica a partir de la ecuación diferencial, cosa que puede ser factible para orden 1 o 2, pero que se torna inviable para órdenes mayores dada la complejidad de las expresiones que aparecen.

    Para dar respuesta a estas demandas de la comunidad científica, un primer bloque de esta tesis doctoral ha consistido en el desarrollo teórico y de la implementación práctica de TIDES [ABBR10], un integrador numérico, distribuido como software libre bajo licencia pública general del proyecto GNU, que incorpora una interfaz en Mathematica.

    TIDES ha sido diseñado y elaborado buscando una extrema facilidad de uso, no sólo para integrar el sistema diferencial, sino también para hacerlo utilizando precisión extendida y calculando simultáneamente la solución de las ecuaciones variacionales sin tener que formularlas explícitamente.

    Además de su implementación se ha desarrollado una completa batería de tests para testar su estabilidad, competitividad con otros integradores comunes en la comunidad científica, además de otros tests para comprobar el buen funcionamiento de las características específicas (solución de ecuaciones variacionales y precisión extendida).

    Para finalizar esta primera parte, se ha hecho un estudio exhaustivo de las fuentes de errores que pueden aparecer en el método [BR10], se ha cuantificado su influencia, y se han propuesto modificaciones al algoritmo para reducir su influencia.

    Este método ha sido utilizado para la búsqueda sistemática de órbitas periódicas en diversos sistemas dinámicos [BB09]. En una segunda parte de esta tesis, se ha querido mejorar estos resultados, no dándoles más precisión, sino dándoles el rigor de un teorema.

    Mediante el uso de técnicas de Computer Assisted Proofs [KS07, KZ09], aritmética intervalar, topología computacional y la librería CAPD, se ha podido demostrar que estas aproximaciones propuestas por el método numérico están suficientemente cerca de la única órbita periódica a la que aproximan, cuya existencia queda rigurosamente demostrada.