Resumen de El espacio de funciones integrables respecto de una medida vectorial: = The space of integrable functions with respect to a vector measure
A comienzo de este siglo los trabajos de Lebesgue y otros matemáticos crean una teoría moderna y completa de integración que permite integrar de forma plenamente satisfactoria una amplia clase de funciones reales respecto de una medida positiva numerablemente aditiva. Entre ... las diversas direcciones de desarrollo de esta teoría destacan los trabajos de Bochner en 1933 que crea una teoría, similar a la de Lebesgue, que permite integrar funciones con valores vectoriales respecto de una medida positiva.Nuestro estudio se hará para medidas ? definidas en una ?-álgebra y con valores en un espacio de Banach X. consideramos funciones con valores reales, lo que permite dotar al espacio L1(?) de funciones integrables respecto de ? de la estuctura de retículo y por tanto utilizar las herramientas de la teoría de retículos de Banach.Nos planteamos el problema general de estudiar la relación existente entre, por una parte, las propiedades de la medida vectorial ? y del espacio de Banach X, y, por otra, las propiedades del espacio L1(?) de funciones integrables respecto de ?. En este marco surgen ciertas preguntas naturales: ¿Determina el espacio X las propiedades de L1(?)? Si esto es cierto ¿En qué medida ocurre? ¿Puede ser L1(?) reflexivo? ¿Cuándo es L1(?) un AL-espacio? La respuesta, total o parcial según los casos, a estas y otras preguntas constituye el contenido de esta memoria.El primer capítulo de esta memoria consta de dos secciones. En la primera se exponen los principales resultados conocidos sobre la teoría de integración de funciones reales respecto de una medida vectorial ? definida en una ?-álgebra y con valores en un espacio de Banach X y sobre el espacio formado por dichas funciones, L1(?). Éste es un retículo de Banach orden continuo y con una unidad débil.En la segunda sección comienza nuestro propio estudio del espacio L1(?). La primera pregunta que se plantea es ¿Qué espacio se obtiene como L1de una medida vectorial? Identificamos de forma precisa esta clase: son los retículos de Banach orden continuos con unidad débil (Teorema 1.15).En el segundo capítulo se estudian diversas propiedades del espacio L1(?), haciendo hincapié en el hecho de que las propiedades del espacio de Banach en que la medida toma valores determinan, en cierta medida, las propiedades del espacio L1(?). En este sentido se obtienen, entre otros, los siguientes resultados: si el espacio X no contiene ningún subespacio isomorfo a c0 tampoco lo contiene L1(?); si X tiene cotipo q = 2 entonces L1(?) también tiene cotipo q; si X es un espacio con la propiedad de Schur entonces L1(?) tiene la propiedad positiva de Schur.El Tercer Capítulo indaga la respuesta a la pregunta ¿Cuándo es L1(?) un AL-espacio? Probamos que esto ocurre exclusivamente cuando L1(?) es isomorfo al espacio L1(|?|) donde |?| es la variación de la medida ?, la cual debe ser acotada. En la búsqueda de condiciones suficientes para que L1(?) sea un AL-espacio se prueba que la dominación de la variación por la semivariación no es suficiente (Ejemplo 3.3) y que tales condiciones no se pueden imponer sobre el espacio de Banach X (Ejemplo 3.5).El Cuarto Capítulo estudia los operadores con valores en L1(?). Para ello se utiliza la técnica de asociar a cada operador una medida, con valores en un espacio de operadores en este caso, y e estudiar las propiedades del operador a través de las propiedades de la medida. Este medida, en general, es acotada, finitamente aditiva y numerablemente aditiva en la topología fuerte de operadores.
