Atractores y comportamiento finito-dimensional en Sistemas Dinámicos Aleatorios

• Autores: José Antonio Langa Rosado
• Directores de la Tesis: Tomás Caraballo Garrido (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 1998
• Idioma: español
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  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen

  • En el Capítulo 1, presentamos una síntesis de los resultados básicos sobre atractores globales que pueden encontrarse en la literatura sobre este tema. Una de las propiedades más interesantes de estos compactos es la finitud de su dimensión, por la relación existente entre ésta y el número de grados de libertad en el comportamiento asintótico del sistema. Ello motiva los resultados que probamos a continuación sobre seguimiento de trayectorias del sistema a partir de la dinámica en conjuntos atrayentes (Langa y Robinson [69]).Antes de presentar el resto de resultados que componen esta Memoria, ha sido necesario exponer de manera resumida los conceptos y herramientas fundamentales usados en el análisis de ecuaciones diferenciales estocásticas y sistemas dinámicos aleatorios. Ello aparece en el Capítulo 2, en el que especial atención hemos puesto en el desarrollo de este último y en la aportación que supone a la teoría de ecuaciones diferenciales estocásticas.En la primera sección del Capítulo 3, se presenta la teoría de atractores aleatorios tal y como ha sido desarrollada por Craudel y Flandoli en [22]). Debido a la novedad de este concepto, hemos motivado su presentación relacionándolo con otros resultados aparecidos con anterioridad. A continuación, se prueba un resultado de semicontinuidad superior cuando ? 0 de atractores aleatorios A? (w), asociados a una perturbación aleatoria de una ecuación diferencial (Caraballo, Langa y Robinson [14]).El hecho de que, con carácter general, se espera que el atractor aleatorio A(w) tenga dimensión finita motiva el estudio sobre modos determinantes que realizamos en el Capítulo 4. De este forma, mostramos que el comportamiento asintótico de ciertos sistemas dinámicos aleatorios depende de un número finito de grados de libertad (Flandoli y Langa [43]).El Capítulo 5 presenta la construcción general de un atarctor exponencial aleatorio a partir de un atarctor aleatorio, generalizando de esta manera la teoría sobre atractores exponenciales del caso determinista. Importantes consecuencias se obtienen de este nuevo concepto, en especial que, con probabilidad uno, el atractor exponencial aleatorio atraiga cuando t+8 a las trayectorias que comienzan en conjuntos acotados (Caraballo y Langa [15]).Finalmente, el Capítulo 6 generaliza al campo estocástico los resultados sobre seguimiento de trayectorias que fueron probados en el Capítulo 1. Mostramos cómo la dinámica en conjuntos aleatorios atrayentes está estrechamente relacionada con la que desarrolla el SDA cuando t +8 (Caraballo y Langa [16]). Esto conduce al que, en nuestra opinión, es uno de los problemas abiertos más interesantes en la teoría de atractores (aleatorios y deterministas), presentado en el Anexo. En pocas palabras, se trata de saber si es posible encontrar un sistema diferencial ordinario capaz de describir la dinámica sobre el atractor y, por tanto, la dinámica asintótica de las trayectorias de un sistema dinámico de dimensión infinita.