Resumen de A demonstração matemática e o professor: formação e ensino

Caçilda Dos Santos

• Este trabajo está enmarcado en el programa de Doctorado Investigar para Educar en el Siglo XXI, promovido por La Universidad de Valladolid. En última instancia, nuestra intención es sensibilizar a los profesores de Matemáticas para mejorar la enseñanza de la demostración, denunciando problemas y sentimientos, creencias, afinidades y actitudes con las demostraciones que diagnostiquen debilidades y detecten soluciones, aunque no sean matemáticamente completas y intemporales, pero que cada uno pueda ajustar a su contexto y tomar como premisa para la diversidad de los momentos y de los tiempos. La problemática, intentos y etapas se asientan en la realidad educativa, en los problemas sentidos, en las experiencias vividas y compartidas, y en los problemas que ha sufrido la demostración matemática y la enseñanza de las Matemáticas en general, en donde, la preocupación de una escolarización obligatoria, masiva y estadística culmina en un facilitismo, que falta al respeto al Conocimiento, al razonamiento y a la Educación. Muchos de los sucesos son ilusorios y carentes de desempeño matemático y abunda mucha descalculia y mucha ignorancia matemática. Nuestro enfoque por tanto, se centra en la voluntad de (re)significar y traer de vuelta la demostración a la enseñanza de Las Matemáticas, al desempeño del razonamiento y a la actividad mental. Si nuestras diligencias consiguieren por lo menos difundir ese propósito, entonces ya habrá valido la pena.

  -Sumario de las etapas de la tesis:

  - En la introducción se hace una pequeña biografía del trabajo, matizada de deseos y reflexiones personales que interceptan el deseo de restituir la demostración, el formalismo y el rigor a la educación matemática.

  -En el segundo capítulo se adelanta una descripción de la problemática y se declaran algunas intenciones, suposiciones y objetivos.

  -En el tercer capítulo se hace una sinopsis de nuestra metodología, revelando, desde ya, que ella combina intenciones personales con evidencias sustentadas por la experiencia, por historias de vida, análisis de programas, libros de texto y exámenes de Matemáticas, así como por encuestas y entrevistas aplicadas a profesores de Matemáticas. Todo el enfoque pasa por la voluntad de (re)significar la enseñanza de la demostración, en una dinámica activa y cierta de la incompletud, de las limitaciones y de que cada etapa tan solo es una premisa para nuevas investigaciones. Usamos, como base, la metodología de diseño con la intención de encontrar soluciones que cada uno pueda adaptar a sus dificultades y realidades, pero, sin la clausura de una metodología única o específica, donde cada etapa de investigación refin a la la anterior. Muchos autores han utilizado esa metodología (Collins y al. (2004), Kelly (2003), Collins (1992), Brown (1992), Confrey (2006), Cobb y al (2003), etc.) y todos, de alguno modo, defienden que esa forma de investigar es progresiva y formativa para el desarrollo de teorías o modelos educativos. Nuestro primordial propósito es ese mismo: dibujaralguna luz para la enseñanza y aprendizaje de las demostraciones; caso contrario, la Matemática está condenada a transformarse en un software para utilizadores, donde sólo muy pocos conocen su programación. Y, sin el programa de fondo, la representación que se hace de las Matemáticas está desligada de su espiritu y, por tanto, será poco significante para quién de ella se sirve.

  -El cuarto capítulo comporta una breve justificación y encuadramiento teórico de la problemática de la demostración matemática, la cual ha sido objeto de muchas investigaciones en las últimas décadas del siglo pasado, manteniéndose esa preocupación hasta los días de hoy y, por cierto, en los que han de venir. El capítulo presenta algunos trabajos y opiniones destacadas sobre la enseñanza de la demostración matemática, cuya recogida queda fundamentada en la Bibliografía y, en donde, no se podía dejar de subrayar toda la contribución de las recomendaciones y fuentes de investigación aportadas por el tutor de la tesis, mucho particularmente, trabajos suyos que han servido de luz y guía para todo el trayecto. Los trabajos que más directamente han influido en esta investigación han sido el de Ibañes (2001) y las sucesivas publicaciones de Ibañes y Ortega (1998, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004), pero muchos otros son destacados en la tesis.

  - El quinto capítulo nombrase una inteligencia llamada demonstración y evidencia muchas reflexiones sobre la demonstración matemática que valoran sus funciones en la vida, en la Educación y en el razonamiento.

  -El sexto capítulo resume, muy abreviadamente, el trayecto de la enseñanza de las Matemáticas y de la demostración en Portugal, en los dos últimos siglos, apoyándose en libros de texto de La Enseñanza Secundaria y exámenes de ingreso a La Universidad de ese período de tiempo, y que testifican el gradual desaparecimiento y maltratamiento del rigor matemático y de la demostración.

  - En el sétimo capítulo se recogen algunas opiniones sobre Las Matemáticas y la demostración, que realzan muchas desventuras y tribulaciones, así como creencias y sentimientos sobre el asunto.

  - En el octavo capítulo se describe una primera y breve investigación, vía encuesta, sobre la demostración Matemática y el profesorado, pasando por la formulación de objetivos e hipótesis, metodologías, intervenciones, recursos, análisis, presentación y evaluación de resultados. La interpretación y reflexiones en esta etapa se basan en las respuestas de los profesores de Matemática de Institutos de Educación Secundaria de Chaves-Portugal, bien como en las creencias, expectativas, experiencias y conversas informales trianguladas en ese pequeño ecosistema escolar. Se termina este capítulo con algunas conclusiones, cuestiones abiertas, confirmación y reprobación de hipótesis, bien como posibles propuestas para nuevas investigaciones.

  -En la secuencia de las intenciones anteriores y para refinar la investigación, se elabora un segundo cuestionario, más amplio y contestado por una muestra más numerosa, más significativa, envolviendo profesores de Matemática de Portugal y de España, ya soportado por las premisas del primero y de todo el trabajo precedente, y cuyo historial se hace en el noveno capítulo.

  -Como subsecuencia de la segunda encuesta, en el décimo capítulo se desenvuelve un estudio comparativo entre Portugal y España, mediante las respuestas dadas a los cuestionarios y con la intención de encontrar convergencias y divergencias de opiniones, relativamente a la situación de la enseñanza de la demostración matemática en los dos países, adelantándose, aquí, que la problemática no diverge mucho.

  -Para perfeccionar y dar más consistencia a nuestras pasadas, se elabora una entrevista titulada Trayecto y problemas de la enseñanza de la demostración en los últimos tiempos - puntos de vista de dos profesores de Matemática; se trata de una entrevista semi-estructurada y conducida por un guión basado en las reflexiones anteriores del trabajo y contestada por dos profesores, un portugués y otro español, que colaboraron en la segunda encuesta y que se voluntariamente colaboraron para clarificar y fortalecer algunas opiniones, así como afinar el paralelismo entre los dos países, siendo su análisis presentado en el décimoprimer capítulo.

  -En el décimosegundo capítulo se resumen nuestras hipótesis y conjecturaciones, prefiriendo llamarle así pues nuestros apuntes no diseñan conclusiones matemáticamente demostrables o generalizables, pero antes adaptables a los escenarios y disponibles para las necesidades de cambio.

  -En nuestro trayecto, se consigue una categorización de profesores, en función de sus afinidades con la demostración, que sintetiza algunas actitudes y convicciones sobre la demostración, presentada en el décimotercer capítulo.

  - En el décimo cuarto capítulo se hacen algunas consideraciones sobre nuestro proyecto, pasando por puntos fuertes, puntos débiles, dificultades, aportaciones y puntos abiertos del trabajo.

  - En el décimoquinto capítulo, se perfila una conclusión, que lejos de ser conclusiva, completa o extinguida, se proyecta en la esperanza de mejoramiento, en la modestia y en la certeza de que cada avanzo será tan solo un nuevo punto de partida.

  -En el décimosexto capítulo se exhibe la Bibliografía, pasando por artículos, conferencias, diccionarios, libros, documentos de la red y tesis doctorales -Finalmente, los décimo sétimo, décimo octavo y décimonono capítulos, respectivamente, contienen el índice de tablas, el índice de figuras y los apéndices y anexos del trabajo.