Resumen de Bourbaki-complete spaces and Samuel realcompactification
Ana S. Meroño
Esta tesis pertenece al área de la Topología General y en particular, al campo de estudio de los espacios uniformes. Además de los resultados nuevos surgidos durante el proceso de escritura de la tesis, muchos resultados presentados aquí aparecen en las siguientes publicaciones del autor: [GaMe14] M. I. Garrido and A. S. Meroño, New types of completeness in metric spaces, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 39 (2014) 733-758; [GaMe16] M. I. Garrido and A. S. Meroño, On paracompactness, completeness and boundedness in uniform spaces, Topology Appl. 203 (2016) 98-107; [GaMe17] M. I. Garrido and A. S. Meroño, The Samuel realcompactification of a metric space, J. Math. Anal. Appl. 456 (2017) 1013-1039; [GaMe18] M. I. Garrido and A. S. Meroño, The Samuel realcompactification, Topology Appl. 241 (2018) 150-161; [HoJuMe19] A. Hohti, H. Junnila and A. S Meroño, On strongly Cech-complete spaces, to appear in Topology Appl. (2019).
En la primera parte de esta memoria aparecen muchos resultados de los trabajos [GaMe14], [GaMe16] y algunos de [HoJuMe19]. Más precisamente, estudiamos la Bourbaki-completitud y la cofinal Bourbaki-completitud (equivalentemente, la fuerte paracompacidad uniforme) en los espacios uniformes, considerando en particular la modificación estrella-finita de una uniformidad. Será de especial importancia la utilización de filtros de Bourbaki-Cauchy y cofinal Bourbaki-Cauchy, como técnica novedosa en las pruebas. En particular, resolvemos varios problemas básicos relacionados con productos, subespacios, hiperespacios, espacios métricos y espacios con la uniformidad final.
En la segunda parte de la tesis, se incluyen algunos de los resultados principales de [HoJuMe19]. Sin embargo, en vez de seguir esta publicación, ya que necesitamos resultados que preserven cierta estructura uniforme, hemos decido empezar por sumergir los espacios métricos Bourbaki-completos (y después los espacios uniformes Bourbaki-completos) en un espacio universal, de tal modo que la inmersión es uniforme en un sentido y en el sentido inverso preserva al menos los filtros de Bourbaki-Cauchy. De este resultado principal deducimos teoremas de metrización y uniformización por una métrica, o uniformidad, que es Bourbaki-completa, cofinal completa y Bourbaki-completa a la vez, o cofinal Bourbaki-completa.
La tercera parte de la tesis está dedica a la realcompactificación de Samuel, y contiene todos los resultados de [GaMe18] que son a su vez una extensión a los espacios uniformes de los resultados en [GaMe17].
El primer problema que se presenta aquí es una caracterización de los espacios Samuel realcompactos, es decir, aquellos espacios uniformes que son completos con la uniformidad débil inducida por todas las funciones reales uniformemente continuas sobre el espacio. Luego damos un paso natural en la generalización de este resultado y estudiamos qué tipo de espacios métricos o uniformes satisface que la realcompactificación de Samuel y la realcompactificación de Hewitt son equivalentes. Sin embargo, solamente proporcionamos resultados parciales. Estos no han sido publicados todavía.
