Resumen de Nuevos métodos de Laplace y Saddle point más sencillos y sistemáticos
En este trabajo nos hemos centrado en el estudio del cálculo de desarrollos asintóticos de integrales. Los métodos de Laplace y Saddle Point son los mas utilizados para calcular desarrollos asintóticos. Sin embargo, estos métodos tienen sus dificultades técnicas a la hora de ponerlos en práctica. Por un lado, ambos métodos necesitan de un cambio de variable que posteriormente hace que los coeficientes del desarrollo asintótico sean los coeficientes de Taylor de una función definida implícitamente y por tanto, no son fácilmente calculables. Por otro lado, y previamente a este cambio de variable, en el método Saddle Point se necesita la validación de un cambio de camino de integración: el camino original por el camino steepest descent de la función fase f(t). En general, esta tarea suele ser complicada y sobretodo, no es sistemática.
A la vista de estas dificultades técnicas, en esta tesis hemos propuesto dos nuevos métodos derivados de los métodos Laplace y Saddle Point originales que los hacen mas sencillos y sistemáticos:
1.- Un primer método que consiste en desarrolla la función g(t) que multiplica a la exponencial en el integrando , entorno a los puntos asintóticamente relevantes de la función fase f(t).
2.- Un segundo método consistente en , no solo desarrollar la función g(t) si no también la función fase f(t) entorno a sus puntos asintóticamente relevantes.
En ambos casos conseguimos omitir el cambio de variable que dificulta los cálculos en los métodos clásicos y sistematiza los cálculos tanto de la sucesión asintótica como de los coeficientes, dando formulas explicitas para ambos. Además, en la segunda modificación, sistematizamos el calculo del camino steepest descent de manera que su calculo sea universal, valido para cualquier problema planteado.
Finalmente, y como consecuencia de la segunda modificación, hemos obtenido formulas parcialmente explicitas para los coeficientes del método Saddle Point clásico.
