Resumen de Atractores pullback: existencia y estructura para una ecuación de ondas con amortiguamiento no autónomo
Luis Felipe Rivero Garvía
Este trabajo está dividido en dos partes. Una primera en la que se trata la parte teórica de los sistemas dinámicos autónomos dentro del marco de la teoría de los semigrupos, dando una visión global de esta teoría clásica, así como la teoría más reciente en el caso no autónomo; y una segunda parte en la que se tratan dos ejemplos no autónomos y no triviales de ecuaciones de ondas.
En el Capítulo 2 se ofrece una visión de la teoría clásica sobre atractores globales en el caso autónomo. Esta teoría está dentro del marco de los semigrupos, por lo que la Sección 2.1 está dedicada a establecer las definiciones y conceptos necesarios dentro de este marco, así como ciertos resultados previos. En la Sección 2.2, se muestran los resultados más conocido sobre existencia de atractores globales (véase Teorema 2.2.6), basados en la existencia de conjuntos compactos absorbentes, la propiedad de compacidad asintótica del semigrupo o la existencia de subespacios de dimensión finita. En esta sección también se trata el caso de la disipatividad puntual. En la Sección 2.3 se muestran los conceptos de continuidad de los atractores globales bajo perturbaciones y se desarrollan los conceptos de semicontinuidad superior e inferior. La Sección 2.4 muestra como el atractor global alberga en su interior una copia de toda la dinámica del sistema, por lo que en la aplicaciones es importante hacer un estudio tanto de la dimensión como de la estructura del mismo. En la Sección 2.5 se muestra los conceptos desistemas gradientes y sistemas $\mathcal E$-gradientes, así como la relación que existen entre ambos.
Los objetivos del Capítulo 3 son la generalización de los conceptos previos en el marco de los procesos de evolución. Para ello, es necesario redefinir y generalizar los conceptos ya existentes (ver Sección 3.1). El principal problema a la hora de realizar esta generalización reside en que existen ciertas propiedades que se verifican de manera automática en el caso de los semigrupos, pero que para procesos de evolución en el caso no autónomo no son triviales. Un ejemplo claro es el Teorema 3.2.2, el cual muestra que con la generalización natural del concepto de disipatividad acotada en sentido pullback no basta para asegurar las propiedades del atractor. Así es necesario definir conceptos más fuertes para obtener resultados análogos al caso autónomo, como el Teorema 3.2.4 de la Sección 3.2. Un resultado muy útil en la caracterización de procesos asintóticamente compactos en sentido pullback es el Teorema 3.2.5, el cual es una generalización del resultado de Hale. Una especial atención requiere el estudio de los procesos disipativos puntuales en sentido pullback, ya que su generalización al caso no autónomos requiere asumir hipótesis extras, como cierto tipo de equicontinuidad o de acotación fuerte, que en el caso autónomo son triviales, o de la definición de atracciones más fuertes en sentido pullback (ver definiciones 3.2.10 y 3.2.11). El Teorema 3.2.12 recoge este resultado. En esta sección también se generalizan el resto de resultados de existencia del capítulo anterior. En la Sección 3.3 también se da una visión sobre la teoría de las bases de atracción, así como un resumen de los resultados más relevantes y ejemplos. La continuidad de los atractores pullback se trata en la Sección 3.4, en la cual juega un importante papel cierta estructura específica como son los atractores de tipo gradiente o gradient like. Este tipo de atractores son los que permiten obtener una semicontinuidad inferior bajo pequeñas perturbaciones. La continuidad superior se obtiene por medio de técnicas donde sólo la continuidad de los procesos es requerida. La Sección 3.5 trata el concepto de atractor pullback exponencial, familia de conjuntos compactos positivamente invariante que atrae exponencialmente rápido en sentido pullback. En la Sección 3.6 se muestra como dentro del attractor pullback podemos encontrar una copia de la dinámica forward del sistema. Como en el caso autónomo, la estructura del atractor pullback juega un papel muy importante para conocer la dinámica del sistema. En la Sección 3.7 se trata el campo de los procesos de tipo gradiente, generalización de los semigrupos gradientes previamente definidos. La parte final del capítulo 3.8 está relacionada con la relación entre atracción forward y pullback, resaltando el Teorema 3.6.1, que relaciona la dinámica del sistema con la del propio atractor pullback, tanto hacia adelante como en sentido pullback.
En la segunda parte se estudian dos ecuaciones de ondas no autónomas. De manera habitual, los sistemas no autónomos que conservan un cierto tipo de estructura suelen provenir de ecuaciones autónomas con una pequeña perturbación no autónoma. En nuestro caso las ecuaciones no tienen por qué estar cerca de ningún problema autónomo, aportando en este sentido dos problemas completamente no autónomos sobre existencia, estructura y continuidad de atractores pullback.
En el Capítulo 4 se considera la siguiente ecuación, \begin{equation*} \left\{ \begin{split} &u_{tt}+\beta(t)u_t=\Delta u+f(u) \mbox{ en }\Omega\\ &u(x,t)= 0 \mbox{ en }\partial\Omega, \end{split} \right.
\end{equation*} siendo $\Omega$ un subconjunto de $\R^n$. Se ha trabajado el caso subcrítico ya que se considera como condición de crecimiento sobre el término fuente $|f'(s)|\leqslant c(1+|s|^{p-1})$ con $p<\frac{n}{n-2}$. En la Sección 4.1 se realiza un estudio sobre la existencia y unicidad de la solución y de la existencia del atractor pullback, usando desigualdades de energía para obtener decaimiento exponencial en la parte lineal y las condiciones de crecimiento para la compacidad de la parte no lineal, y aplicando los teoremas 3.2.5 y 3.2.4. Para obtener la estructura de tipo gradiente, necesitamos previamente que el atractor muestre una mayor regularidad, lo que se muestra en la Sección 4.2.2. Para ello volvemos a usar la ecuación de la energía y el hecho de que, gracias al decaimiento exponencial, podemos eliminar la parte lineal de la fórmula de variación de las constantes de la solución. De esta manera y gracias a un procedimiento iterativo que regulariza en cada paso las soluciones, llegamos a que el atractor $\{\mathscr A(t):t\in\R\}$ es acotado en $H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)\times H_0^1(\Omega)$. Con esto, en la misma sección, y suponiendo que \begin{equation*} \left\{\begin{split} &\Delta u+ f(u) =0,\ x\in \Omega,\\ &u=0, \ x\in \partial\Omega, \end{split}\right.
\end{equation*} posee un número finito de puntos hiperbólicos que denotaremos como $\mathcal{E}=\{e_1^*, \cdots, e_p^*\}$, obtenemos que toda solución global converge hacia delante y hacia atrás a dichos puntos de equilibrio, esto es, que el atractor pullback se puede denotar como \begin{equation*} \mathscr A(t)=\bigcup_{i=1}^p W^u(e_i^*)(t), \mbox{ para todo } t\in \R.
\end{equation*} En la Sección 4.3 se muestra cómo, bajo la suposición de que los puntos de equilibrio son hiperbólicos en el sentido de la Definición 4.3.1, el atractor pullback muestra también una atracción hacia adelante y de manera exponencial, pudiendo aplicar también el Teorema 3.6.1 y llegando a la conclusión de que existe también una copia de la dinámica forward dentro del atractor pullback.
El Capítulo 5 está dedicado al estudio de la ecuación \begin{equation*} \left\{ \begin{split} &u_{tt}-\Delta u-\gamma(t)\Delta u_t +\beta_\varepsilon(t)u_t=f(u) \mbox{ in }\Omega,\\ &u=0 \mbox{ on }\partial\Omega.
\end{split} \right.
\end{equation*} En este caso, la existencia de la solución necesita de un profundo estudio. En la Sección 5.1 se muestra cómo, usando la teoría de los operadores uniformemente sectoriales, que generaliza la teoría existente para el caso autónomo, tenemos bien definido el problema en el espacio $H_0^1(\Omega)\times H^{-1}(\Omega)$, de manera que si tomamos los datos iniciales en $H_0^1(\Omega)\times L^2(\Omega)$, la solución permanece, como mínimo, en este espacio. Esto nos permite poder usar de nuevo las estimaciones de la energía para probar la existencia del atractor pullback en la Sección 5.2. Usando ideas análogas al caso anterior, en la Sección 5.2.2 me muestra que el atractor es un conjunto acotado de $H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)\times H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)$. Si sólo usamos las estimaciones de la energía, es decir, sin usar la teoría abstracta de los espacios de potencias fraccionarias, podemos obtener una regularidad para el atractor en $H_0^1(\Omega)\times H_0^1(\Omega)$, como se muestra en la Subsección 5.2.3. Para obtener la continuidad del atractor cuando $\varepsilon\rightarrow0$, necesitamos dotar de estructura al problema límite cuando $\varepsilon=0$. En la Sección 5.3 y siguiendo las ideas del caso anterior, se prueba que estamos ante un atractor gradiente en el caso límite, lo que nos permitirá en la Sección 5.4 obtener la semicontinuidad inferior de los atractores.
Finalmente, en el Capítulo 6 se muestra un conjunto de problemas abiertos y líneas de investigación a raíz de los resultados mostrados en este trabajo.
