Resumen de Métricas de condicionamiento y puntos bien distribuidos en variedades

Juan González Criado del Rey

• español

  Distribuir puntos adecuadamente en un espacio geométrico es un importante problema abierto en Matemáticas que viene estudiándose desde antiguo. Con frecuencia, la Naturaleza es capaz de dar buenas soluciones a este problema, pero los seres humanos todavía no sabemos hacerlo de manera eficiente, incluso en los casos más sencillos. No en vano uno de los problemas para el siglo XXI propuestos en la lista de Steve Smale es el de minimizar de forma eficiente la energía electrostática (logarítmica) de un conjunto de partículas confinadas en la superficie de una esfera. La importancia de este problema radica en su relación con los métodos de homotopía, un esquema de algoritmos muy eficientes destinados a resolver una amplia colección de problemas en Análisis Numérico.

  En esta memoria se recogen los resultados del estudio de la energía de Green en una variedad riemanniana compacta arbitraria. Dicha energía se define como la suma de las interacciones dos a dos de partículas distintas, donde el núcleo de la interacción entre dos partículas es la función de Green del laplaciano de la variedad, es decir, la solución fundamental de la ecuación de Poisson.

  Son dos los principales resultados obtenidos en el estudio: por un lado, se demuestra que las configuraciones óptimas para la energía de Green están asintóticamente uniformemente distribuidas. Esto significa que, cuando el número de puntos tiende a infinito, las colecciones de puntos que minimizan la energía de Green se van pareciendo cada vez más (en el sentido *-débil) a la distribución uniforme. Una consecuencia de este resultado es que las configuraciones óptimas pueden ser utilizadas en programas de integración numérica en variedades compactas.

  Por otra parte, en la memoria también presentamos un resultado de separación: todo punto en una configuración óptima para la energía de Green posee un “área de influencia” propia (llamada bola armónica) donde ningún otro punto de la configuración puede entrar. En el caso de variedades muy simétricas (concretamente, variedades Blaschke y localmente armónicas) este resultado se traduce en un resultado sobre la distancia de separación: dos puntos en una configuración óptima están siempre separados por un cierto radio que depende del número de puntos.

  Durante nuestra investigación sobre la energía de Green y, en particular, el problema de Smale, estudiamos también algunos aspectos sobre los métodos de homotopía ya mencionados al principio. Los métodos de homotopía consisten en conectar problemas por caminos continuos de tal modo que estos caminos cumplan dos condiciones: que sean caminos cortos y que no se acerquen mucho al conjunto de problemas mal condicionados. Por este motivo, para estudiar la complejidad de los métodos de homotopía es conveniente estudiar las propiedades de las geodésicas en las llamadas métricas de condicionamiento, que se obtienen al dividir la métrica original en una variedad riemanniana por el cuadrado de la distancia a una cierta subvariedad. Una propiedad clave que debe estudiarse en estas geodésicas es la de la autoconvexidad, que quiere decir, grosso modo, que el punto más cercano de un segmento geodésico del condicionamiento al conjunto de problemas mal condicionados es siempre alguno de los extremos.

  En la memoria demostramos que, bajo ciertas hipótesis de diferenciabilidad, la propiedad de autoconvexidad se satisface sea cual sea la subvariedad de problemas mal condicionados, siempre que la variedad ambiente tenga curvatura seccional no negativa. Además, si la variedad ambiente tiene un punto donde las curvaturas seccionales son negativas, entonces siempre existe una subvariedad de problemas mal condicionados para la que la autoconvexidad falla.

  Estos resultados que relacionan la curvatura con la autoconvexidad no son todavía suficientes como para obtener resultados sobre la complejidad de la homotopía en algunos de los problemas más interesantes, como puede ser la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales, pero suponen un importante avance hacia su resolución.

• English

  Distributing points in some geometric space is a classical open problem in Mathematics. Very often Nature provides good solutions to this problem, but we humans are still uncapable of doing it in an efficient way, not even in the most simple cases. One of the problems in Steve Smale’s list of mathematical problems for the XXI century is that of efficiently minimizing the electrostatic energy of a set of particles that are confined to the surface of a sphere. The relevance of this problem is due to its relation with homotopy methods, an algorithmic scheme designed to solve a broad class of problems in Numerical Analysis.

  In this thesis we present the results of the study of the Green energy on a general compact Riemannian manifold. This energy is defined as the sum of the interactions of the pairwise distinct particles, where the kernel of the interaction is the Green function of the Laplacian, that is, the fundamental solution to the Poisson Equation.

  We highlight two main results. First, we prove that the minimizing configurations for the Green energy are asymptotically uniformly distributed. This means that, as the number of points goes to infinity, the minimizing configurations look more like the uniform measure (in the weak-* sense). As a consequence, minimizing configurations for the Green energy can be used for numerical integration in compact manifolds.

  Second, we present a separation result. Every point in a minimizing configuration has an “area of influence” (called harmonic ball) where no other point from the configuration can enter. In the case of very symmetric manifolds (locally harmonic Blaschke manifolds) this result becomes a separation distance result: two points in an optimal configuration cannot be closer than some radius depending on the number of points.

  Aside from our investigation of the Green energy and, in particular, Smale’s problem, we also study some aspects of the homotopy methods mentioned at the beginning. The main idea behind homotopy methods is that of connecting different problems by continuous paths satisfying two conditions: they need to be short and they need to stay away from the set of ill—posed problems. For this reason, in order to study the complexity of homotopy methods it is convenient to look at the properties of geodesics in the so—called condition metrics, obtained by dividing the original metric on a Riemannian manifold by the squared distance to the set of ill—posed problems. A key property of the geodesics in the condition metric that must be studied is that of self—convexity. Roughly speaking, this property is satisfied whenever the closest point from a geodesic segment to the set of ill—posed problems is always one of the endpoints.

  In this thesis we prove that, under some smoothness hypotheses, the self—convexity always holds if the curvature of the ambient manifold is non—negative. Moreover, if the ambient manifold has some point where all of the sectional curvatures are strictly negative, then the self—convexity property fails.

  These results relating self—convexity and curvature constitute one step towards determining the complexity of homotopy methods.