Resumen de Medidas basadas en cuantiles: Inferencia y aplicaciones en Teoría de Riesgos
José Francisco Pinar Ródenas
La comparación de variables aleatorias con el objeto de determinar cuál de ellas es "mayor" en un sentido probabilístico, ha dado lugar a lo que se conoce como Teoría de Ordenaciones Estocásticas, que no sólo incluye la comparación de variables aleatorias, sino también la de vectores aleatorios. Durante los últimos 40 años esta teoría ha adquirido un gran desarrollo, tanto en resultados teóricos como en aplicaciones, y sus principales resultados aparecen recogidos en las monografías de Shaked y Shanthikumar (1994), Müller y Stoyan (2002) y Shaked y Shanthikumar (2007).
En las aplicaciones de la inferencia estadística, estamos acostumbrados a realizar comparaciones entre variables basándonos en una sola medida asociada a cada variable, como pueden ser la media, la varianza y la mediana. Sin embargo, estas comparaciones realizadas a partir de un valor único son poco informativas. Dentro de la Teoría de Ordenaciones Estocásticas, se proponen criterios de comparación basados en diferentes funciones asociadas a las variables, como la función de distribución o la de supervivencia, la razón de fallo o la función de densidad, que describen el comportamiento de las variables a lo largo de su recorrido o soporte. La propuesta de criterios de comparación de acuerdo a funciones con un interés práctico es una de las líneas de trabajo de las ordenaciones estocásticas. Estos criterios generan órdenes parciales en el conjunto de todas las funciones de distribución, puesto que dos variables aleatorias no tienen por qué estar ordenadas según un criterio determinado. Esto supone que dos líneas de trabajo adicionales sean las de identificar cuándo dos variables están ordenadas de acuerdo a cierto criterio de comparación, y desarrollar técnicas de inferencia que permitan contrastar estos criterios a partir de muestras aleatorias de las variables.
Dentro de estas tres líneas de trabajo es donde se desarrolla esta memoria, como detallamos a continuación.
Una de las funciones más ampliamente utilizadas en la comparación de variables es la función cuantil. Recordemos que la función cuantil es conocida en el contexto de medición de riesgos en seguros y finanzas como el valor en riesgo o VaR (value-at-risk), por lo que su uso tiene un especial interés en este contexto. Pero además, la función cuantil ha sido usada para definir otras medidas como la curva de Lorenz, función right-spread, función TTT-transformada, tail value-at-risk (TVaR), conditional tail expectation (CTE) y conditional value-at-risk (CVaR), así como para definir criterios de comparación de variables aleatorias, como los órdenes en dispersión, right-spread, estrella, etc. Después de analizar distintos criterios de comparación en el Capítulo 1, proponemos un nuevo criterio a partir de una función que hemos llamado expected proportional shortfall, que permite comparar la distribución a la derecha de cualquier cuantil en proporción a dicho cuantil. La razón de introducir este nuevo criterio es que las comparaciones basadas en la función cuantil de las que se disponía hasta este momento sólo consideraban la distribución a la derecha del cuantil, con lo que cambios de escala no dejaban invariante la comparación, y además daban la misma importancia a una diferencia fija respecto de un valor bajo que respecto de un valor más alto. Esta idea se ha desarrollado en el Capítulo 2, donde estudiamos la nueva medida, el nuevo criterio de comparación y caracterizaciones y condiciones suficientes para dicho criterio. Además estudiamos, en distintos modelos paramétricos, cuándo se verifica este criterio. Una de las propiedades de este nuevo orden es que puede ser caracterizado a través de la ordenación creciente convexa de las variables en proporción a los cuantiles, por lo que de forma natural cabe preguntarse qué criterios surgen si cambiamos el orden creciente convexo por otra ordenación, cuestión que hemos abordado en el Capítulo 3. En una primera aproximación hemos estudiado las relaciones con otros criterios de comparación y hemos dejado para un trabajo posterior otras propiedades. Por último, el Capítulo 4 está dedicado al estudio de contrastes sobre ordenaciones, y como aplicación de algunos de ellos se obtienen contrastes sobre clases de envejecimiento. En particular, hemos desarrollado contrastes para los órdenes en TTT-transformada, right-spread, en dilatación y Lorenz, estudiando propiedades de su distribución asintótica, su consistencia y su eficiencia. En los contrastes para clases de envejecimiento hemos abordado las clases NBUE [NWUE] y HNBUE [HNWUE], y además de los estudios asintóticos, de consistencia y eficiencia, hemos obtenido su distribución exacta bajo la hipótesis nula.
