Puntos extremos en espacios de operadores

• Autores: Miguel Angel Navarro Pascual
• Directores de la Tesis: Juan Carlos Navarro Pascual (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Almería ( España ) en 2017
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Juan Francisco Mena Jurado (presid.) , María Gracia Sánchez-Lirola Ortega (secret.) , Fernando Rambla-Barreno (voc.)
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• Resumen

  • La noción de punto extremo sería sin duda la elegida si hubiese que seleccionar un único concepto para describir el contenido de la presente tesis.

    Debemos recordar por tanto que un elemento e de un cierto subconjunto convexo A de un espacio vectorial (real o complejo) es un punto extremo de A si no es un punto intermedio de ningún segmento contenido en A. Los cuatro vértices de un rectángulo o los puntos de la circunferencia que bordea un círculo son ejemplos que ilustran perfectamente el concepto.

    El convexo más importante y representativo de un espacio de Banach es su bola unidad cerrada y nuestra atención se centrará precisamente en este tipo de conjuntos.

    Los problemas que abordamos en esta memoria están relacionados con la descripción de ciertas clases relevantes de puntos extremos, sus interacciones o la posibilidad de representar cada elemento de la bola unidad cerrada del espacio de Banach en cuestión en términos de los miembros de algún conjunto distinguido de puntos extremos.

    Como pone de manifiesto el título de la tesis, todo tendrá lugar en el contexto de los espacios de operadores. Los puntos extremos de la bola unidad de tales espacios son conocidos en la literatura como operadores extremos o contracciones extremas.

    En el primer capítulo obtendremos varias caracterizaciones de los espacios de Hilbert de dimensión finita en términos de operadores extremos e isomorfismos isométricos. Probaremos, entre otras cosas, que tales espacios son los únicos espacios de Banach de dimensión finita en los que todo operador extremo es un isomorfismo isométrico o, equivalentemente, los únicos espacios de Banach de dimensión finita en los que la envolvente convexa de los isomorfismos isométricos coincide con la bola unidad del correspondiente espacio de operadores.

    Como principal aportación del segundo capítulo, demostramos que la bola abierta unidad de toda álgebra de von Neumann A (real o compleja) está contenida en la envolvente secuencialmente convexa del grupo constituido por los elementos unitarios de A. Como consecuencia inmediata, la bola unidad cerrada de A coincide con la envolvente convexo-cerrada de dicho conjunto. En el caso complejo esta misma afirmación es válida de hecho para toda C*-álgebra unital, como afirma el conocido teorema de Russo-Dye. Sin embargo, para escalares reales, el resultado que hemos obtenido proporciona información novedosa incluso para el álgebra L(H) de los operadores lineales y continuos de un espacio de Hilbert infinito-dimensional H en sí mismo. Digamos en este sentido que la posibilidad de expresar la bola unidad de L(H) como la envolvente convexo-cerrada de sus elementos unitarios aparece en la literatura como un problema abierto.

    Nuestros resultados proporcionan de paso la descripción de los puntos extremos de la bola unidad de las álgebras de von Neumann y de los espacios de operadores entre dos espacios de Hilbert.

    En vista de las caracterizaciones de los espacios de Hilbert de dimensión finita obtenidas en el primer capítulo, es natural preguntarse sobre la posible existencia de espacios de Banach de dimensión infinita en los que todo operador extremo sea un isomorfismo isométrico. En los dos capítulos restantes iniciamos el análisis del problema a través de una clase de operadores situados entre los isomorfismos isométricos y los operadores extremos. Se trata de los llamados operadores nice, un término que se aplica a todo operador cuyo adjunto transforme los puntos extremos de la bola del dual en puntos del mismo tipo.

    En el tercer capítulo mostramos la existencia de espacios de Banach de dimensión infinita en los que todo operador nice es un isomorfismo isométrico. Esta situación se produce, bajo ciertas condiciones sobre la norma o el cuerpo de escalares, en espacios de funciones continuamente diferenciables. En este mismo capítulo conseguimos la descripción de los operadores nice entre tal tipo de espacios, con respecto a distintas normas naturales y sin imponer condiciones relativas a la inyectividad o sobreyectividad de los operadores considerados. La caracterizaciones de las isometrías sobreyectivas entre espacios de funciones derivables con derivada continua puede obtenerse de forma inmediata a partir de nuestros resultados.

    En el cuarto y último capítulo estudiamos los operadores nice entre espacios de funciones absolutamente continuas con valores reales. Con respecto a una norma adecuada para tales espacios, caracterizaremos completamente los operadores mencionados y probaremos en particular que son automáticamente isométricos, aunque no necesariamente sobreyectivos. En la misma línea del capítulo precedente, desarrollaremos el trabajo sin imponer condiciones de inyectividad o sobreyectividad a los operadores. De los resultados obtenidos deducimos finalmente la descripción de los isomorfismos isométricos entre espacios de funciones absolutamente continuas