Estudio de propiedades analíticas de polinomios ortogonales no estándar

• Autores: Juan Francisco Mañas Mañas
• Directores de la Tesis: Juan José Moreno Balcázar (dir. tes.) , Francisco Marcellán Español (codir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Almería ( España ) en 2018
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Teresa Encarnacion Pérez Fernández (presid.) , Florencio Castaño Iglesias (secret.) , Cleonice Fatima Bracciali (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: TESEO
• Resumen

  • En la memoria se recogen las principales aportaciones del candidato al grado de Doctor en Matemáticas en el campo de la ortogonalidad Sobolev. En particular, el objetivo es el estudio de propiedades asintóticas de polinomios de Sobolev discretos, especialmente en el caso variante.

    Las aportaciones originales de esta memoria se recogen en los Capítulos 2 al 5. A modo de introducción el Capítulo 1 establece el marco teórico en el que se desarrolla esta tesis doctoral. De esta forma se realiza un recorrido por aspectos esenciales de la teoría clásica de polinomios ortogonales. A continuación, se introduce la ortogonalidad Sobolev, dedicando algunas páginas a su motivación, a aspectos generales de esta teoría y a los resultados más relevantes y necesarios para esta memoria. El resto de los capítulos se divide en dos partes.

    La primera de estas partes corresponde a los capítulos 2 al 4. En ellos el objetivo es la obtención de fórmulas asintóticas tipo Mehler--Heine para polinomios de Sobolev discretos variantes. Estas fórmulas asintóticas son importantes ya que describen con detalle el comportamiento asintótico local de los polinomios de Sobolev alrededor del punto en el que hemos colocado la perturbación. Además, como consecuencia de estas fórmulas, se deduce el comportamiento asintótico de los ceros de dichos polinomios ortogonales.

    El término variante aparece al introducir una sucesión de masas variantes {M_n }_(n≥0) en el producto escalar, es decir, se considera (f,g)=∫f(x)g(x)dμ+M_n f^((j) ) (c) g^((j) ) (c), donde μ es una medida de Borel positiva con soporte en un subconjunto infinito de R, j es un entero no negativo y c∈R. La sucesión {M_n }_(n≥0) está formada por números reales no negativos.

    Se probará cómo el comportamiento asintótico de {M_n }_(n≥0) influye en el comportamiento asintótico local de los polinomios ortogonales con respecto al anterior producto escalar, es decir, la influencia que el tamaño de la sucesión {M_n }_(n≥0) tiene en la asintótica tipo Mehler--Heine y, por tanto, en el comportamiento asintótico y la ubicación de los ceros de estos polinomios ortogonales de Sobolev discretos (también llamados polinomios ortogonales tipo Sobolev).

    En los Capítulos 2 y 3 se consideran los polinomios ortogonales tipo Laguerre--Sobolev y tipo Jacobi--Sobolev, respectivamente. La técnica usada en el Capítulo 2 para obtener los resultados es una técnica particular que no es viable en un enfoque general. Es en el Capítulo 4 donde, usando nuevas técnicas que aparecen en la literatura reciente, se aborda el caso general permitiendo que la medida μ pertenezca a contextos más generales como, por ejemplo, clase de Nevai o relativa a pesos de Freud generalizados.

    Además, se mostrará que la asintótica local tipo Mehler--Heine es la que permite encontrar las diferencias asintóticas entre estos polinomios de Sobolev discretos y los polinomios ortogonales con respecto a μ. De hecho, la asintótica relativa exterior correspondiente a estas dos familias de polinomios ortogonales es exactamente igual a 1, es decir, asintóticamente no se diferencian en C\sop(μ).

    La segunda parte de esta memoria, que corresponde al Capítulo 5, surge a partir de una estancia de investigación de más de 3 meses con el Prof. Dr. Lance L. Littlejohn en Baylor University (Texas, EE. UU.). Esta parte de la memoria se centra en estudiar el comportamiento asintótico de los autovalores de un operador diferencial del que una familia de polinomios ortogonales de Gegenbauer--Sobolev discretos son autofunciones de dicho operador.

    Realmente, la motivación para considerar este problema fue la determinación de un valor asintótico que involucra a la norma infinito de los polinomios ortonormales de Gegenbauer--Sobolev discretos y a los autovalores anteriormente citados.

    Las técnicas usadas en este capítulo nos hacen pensar que podemos abordar este problema en contextos más generales.

    Finalmente, el Capítulo 6 está dedicado a unas breves conclusiones y a una lista de problemas abiertos, algunos de los cuales ya se han comenzado a estudiar.

    Respecto a las publicaciones ligadas a esa memoria de tesis doctoral hay que indicar que los capítulos del 2 al 5 han sido publicados en [2], [3], [4] y [1], respectivamente.

    Referencias que avalan la tesis:

    [1] L. L. Littlejohn, J. F. Mañas-Mañas, J. J. Moreno-Balcázar, R. Wellman, Differential operator for discrete Gegenbauer-Sobolev orthogonal polynomials: Eigenvalues and asymptotics, J. Approx. Theory, 230 (2018), 32–49.

    [2] J. F. Mañas-Mañas, F. Marcellán, J. J. Moreno-Balcázar, Varying discrete Laguerre-Sobolev orthogonal polynomials: asymptotic behavior and zeros, Appl. Math. Comput. 222 (2013), 612–618.

    [3] J. F. Mañas-Mañas, F. Marcellán, J. J. Moreno-Balcázar, Asymptotic behavior of varying discrete Jacobi–Sobolev orthogonal polynomials, J. Comput. Appl. Math. 300 (2016), 341–353.

    [4] J. F. Mañas-Mañas, F. Marcellán, J. J. Moreno-Balcázar, Asymptotics for varying discrete Sobolev orthogonal polynomials, Appl. Math. Comput. 314 (2017), 65–79.