Resumen de Numerical analysis and computing of nonlinear option pricing models
José Ramón Pintos Taronger
La ecuación de Black-Scholes marcó un hito en la matemática financiera del siglo pasado. Con su presentación en 1973 se produjo un enorme desarrollo de los mercados financieros. Esta ecuación era la herramienta que necesitaban los analistas para poder valorar opciones financieras. Black, Scholes y Merton obtuvieron el modelo de valoración, dedujeron la ecuación diferencial y la resolvieron analíticamente. Causó sensación en su época y permitió que aparecieran infinidad de nuevos productos financieros complejos que ahora ya se podían valorar. Pero con el tiempo se ha demostrado que el modelo de Black-Scholes es un modelo muy simplificado. Para obtener su ecuación, que es una ecuación en derivadas parciales lineal de tipo parabólico, tuvieron que hacer unas suposiciones de los comportamientos de los mercados claramente irreales como, por ejemplo, que no existían costes de transacción o que los mercados eran perfectamente líquidos. Muchos autores han trabajado a partir de este modelo inicial y han obtenido modelos derivados que eliminan algunas de estas suposiciones y que conducen a ecuaciones en derivadas parciales fuertemente no lineales y que ya no tienen solución analítica conocida. Los métodos numéricos son necesarios para resolverlas.
En el presente trabajo resolvemos varios de estos modelos mediante diferencias finitas a partir del método de semidiscretización, también llamado el método de líneas. Consiste en la discretización de la variable espacial y seguidamente la integración respecto de la variable temporal. Este método tiene la ventaja de que podemos elegir la forma de integración. Para ello pueden desarrollarse tanto esquemas explícitos como implícitos y en el caso de coeficientes constantes respecto de la variable temporal, la exponencial de un matriz.
Al resolver estas ecuaciones no lineales mediante métodos numéricos surgen problemas de estabilidad y consistencia siendo muy frecuentes oscilaciones indeseadas de las soluciones. Realizar un análisis numérico minucioso nos ha permitido adentrarnos en estos problemas y proponer condiciones que eliminan estos inconvenientes.
El presente trabajo se estructura en tres partes. La primera contiene una introducción al modelo de Black-Scholes, la exposición del método de semidiscretización que usaremos y finalmente se dan unas ideas sobre análisis numérico como son consistencia, estabilidad y convergencia. La segunda parte está dedicada al estudio de los modelos de valoración que incluyen costes de transacción. Hemos trabajado con dos modelos reconocidos, el de Hoggard, Whalley & Wilmott y el de Barles & Soner. En la tercera parte estudiamos el modelo desarrollado recientemente por Liu & Yong para la valoración de opciones en mercados ilíquidos.
En todos los casos, los esquemas numéricos que proponemos una vez construidos son sometidos a un análisis numérico detallado para garantizar propiedades deseables de la solución numérica como son la positividad, la estabilidad y la consistencia con la ecuación de partida. Junto a este análisis se incluyen simulaciones numéricas para la observación de las variaciones que sufre el precio de la opción con respecto a los parámetros que representan los costes de transacción y la iliquidez de los mercados.
