Resumen de The geometry of the so(p,q)-higgs bundles
Marta Aparicio Arroyo
Los fibrados de Higgs fueron introducidos por Hitchin y son de interés en muchas áreas de la geometría diferencial y algebraica, la topología y la física matemática, como son el estudio de representaciones de una superficie, las teorías gauge, las geometrías Kähler e hyperkähler y los sistemas integrables.
La geometría y la topología de los espacios de moduli de G-fibrados de Higgs han sido estudiadas para varios grupos de Lie complejos reductivos, como GL(n,C), SL(n,C), SO(n,C) y Sp(2n,C), y para algunas de sus formas reales, como U(p,q), Sp(2n,R), entre otras. Esta tesis está dedicada al estudio del espacio de moduli de SO_0(p,q)-fibrados de Higgs, donde SO_0(p,q) es la componente conexa de la identidad del grupo de Lie SO(p,q).
En esta tesis estudiamos las nociones de semiestabilidad, estabilidad y poliestabilidad para SO(n,C) y SO_0(p,q)-fibrados de Higgs aplicando las nociones generales dadas por García-Prada, Gothen y Mundet i Riera, y damos nociones de semiestabilidad y estabilidad simplificadas. También estudiamos las condiciones de lisitud en el moduli.
El uso de técnicas de teoría de Morse para el estudio de la topología de los espacios de moduli de fibrados de Higgs fue introducido por Hitchin. En esta tesis damos importantes pasos en el estudio del número de componentes conexas del espacio de moduli de SO_0(p,q)-fibrados de Higgs. Nuestro resultado principal es una completa descripción de los mínimos lisos de la función de Hitchin en dicho espacio de moduli. También construimos la componente de Hitchin en los casos split SO(n,n) y SO(n,n+1). Finalmente resolvemos el problema del cómputo de componentes conexas en el caso SO_0(1,n) con n impar.
