Análisis de condiciones de bifurcación no estándar en sistemas dinámicos continuos

• Autores: Antonio Martínez Plaza
• Directores de la Tesis: José Carlos Valverde Fajardo (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Castilla-La Mancha ( España ) en 2009
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Francisco Balibrea Gallego (presid.) , Fernando Lopez Pelayo (secret.) , Gabriel Soler López (voc.) , Miguel Ángel López Guerrero (voc.) , Juan Luis García Guirao (voc.)
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• Resumen

  • Durante el último cuarto del siglo XIX, mientras Peano y Picard cerraban el capítulo del enfoque clásico de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.), Liapunov y especialmente Poincaré abrían uno nuevo: El estudio cualitativo de las soluciones. Se trata de una aproximación al problema radicalmente nueva en la que, presuponiendo la existencia de las soluciones, se desea explotar las propiedades topológicas del espacio en que trabajamos y las analíticas de la función que define la ecuación, para determinar el comportamiento asintótico de las soluciones para valores grandes del tiempo. El tratado Les Méthodes Novelles de la Mécanique Celeste [Po899], donde Poincarµe dejó reflejados numerosos resultados y métodos básicos, puede ser considerado como el punto de partida de esta teoría. Mientras la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales iba desarrollándose, los matemáticos comprendieron gradualmente que lo esencial de ésta encajaba dentro de un marco mucho más general: el de los sistemas dinámicos. No obstante, llevó muchos años perfeccionar una formulación abstracta de este concepto. Cabe citar al respecto los libros de Nemytskii y Stepanov [NeSt49] y de Coddington y Levinson [CoLe55] en los 40 y 50 respectivamente, que contienen un detallado tratamiento de las propiedades hasta entonces conocidas sobre sistemas dinámicos. En pocas palabras, podríamos describir un sistema dinámico como aquel que evoluciona con el tiempo y cuya característica principal es la de ser determinista, esto es, su estado futuro se puede predecir si se conocen su estado actual y las leyes que gobiernan su evolución a lo largo del tiempo. Más específicamente, puede armarse que el concepto de sistema dinámico es la formalización matemática de una noción más general como es la de Proceso Determinista. El estado futuro de muchos sistemas físicos, químicos, biológicos, de ingeniería, económicos, ecológicos e incluso sociales pueden ser predichos, si se conocen su estado presente y las leyes que gobiernan su evolución. Así pues, el concepto de sistema dinámico ha de incluir de manera forzosa el conjunto de sus posibles estados y la ley de evolución en el tiempo. Formalmente un sistema dinámico puede definirse de la siguiente manera, donde se integran las ideas puestas de relieve en [Bro88] y [Sel77]