Resumen de Funciones universales para operadores de composición en superficies de Riemann
Esta memoria está dividida en cuatro capítulos. En el Capítulo cero de preliminares introducimos la notación y recordamos los elementos necesarios que utilizaremos más tarde en el resto de este trabajo. De este capítulo tendrá una especial importancia todo lo referente a la compactificación de Freudentrhal y a las sucesiones exhaustivas de subconjuntos compactos de una superficie.En el Capítulo primero, que se puede considerar introductorio, definimos (definición 1.1.1) lo que es una sucesión fugitiva de automorfismos en una región del plano complejo. Encontramos que esta definición generaliza y permite un tratamiento simultáneo de los teoremas de Birkhoff, Seidel-Walsh y Zappa. También se caracterizan las sucesiones de automorfismos que verifican esa propiedad. De la caracterización de las sucesiones de automorfismos fugitivas del capítulo primero se observa que debido a la �rigidez� de los automorfismos, son relativamente pocas las regiones con sucesiones de automorfismos fugitivas. Es por lo que se hace innecesario generalizar el concepto de fugitividad a sucesiones que no constan necesariamente de automorfismos. En el segundo capítulo generalizamos la definición 1.1.1 no sólo para sucesiones de automorfismos sino también para cierto tipo de sucesiones de aplicaciones más generales y nos situamos en el contexto. Ya completamente general, de una superficie de Riemann no compacta. Se prueba que la definición de fugitivad es una propiedad topológica muy fuerte y logramos generalizar los teoremas de Birkhoff y Seidel-Wlash a las superficies de Riemann no compactas, que no son �similares· en cierto sentido al plano punzonado, para una clase de sucesiones más generales que las de automorfismos (teorema 2.3.22). También sin ninguna restricción sobre las superficies de Riemann mejoramos el tipo de compactos pata los cuales existe una función universal. Terminamos el capítulo demostrando que las condiciones impuestas sobre las sucesiones son esencialmente necesarias. La técnica seguida en las demostraciones de los teoremas principales de este capítulo pone en conexión las de la teoría de aproximación y las de la teoría de operadores.En el capítulo tercero nos planteamos un problema completamente diferente. Recientemente se ha estudiado la existencia de subespacios vectoriales cerrados de dimensión infinita de funciones que no son diferenciales en ningún punto en el espacio de las funciones continuas (véase [FGK], [Gu] y [Ro]). También en el campo de las ecuaciones diferenciales no forman espacio vectorial y se intenta encontrar un subconjunto de soluciones que sí formen espacio vectorial. Nosotros planteamos el problema de encontrar un espacio cerrado de funciones universales de dimensión infinita y damos una respuesta alfirmativa. Este interesante resultado es completamente nuevo y complementa el resultado mencionado anteriormente de P. Bourdon. Además, otra vez se observan interesantes conexiones entre las técnicas de la teoría de aproximación y las de operadores. En la demostración que damos del teorema principal juega un papel fundamental el hecho de que una perturbación de una sucesión básica en un espacio de Banach es también una sucesión básica. Una buena parte de los resultados del capítulo primero está contenida en el capítulo segundo. El hecho de elegir este orden se debe a que fueron los primeros resultados que obtuvimos y se tiene que volver a estos métodos en el tercer capítulo. Por otra parte, los resultados del segundo capítulo son posteriores en el tiempo a los del tercer capítulo. Además, por el momento sólo los resultados de los capítulos primero y tercero han sido aceptados para publicación (véase [BM 1-2]).
