Rango y propiedades de medidas vectoriales: conjuntos p-Sidon p.s.

• Autores: Luis Rodríguez Piazza
• Directores de la Tesis: Juan Arias de Reyna Martínez (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 1991
• Idioma: español
• ISBN: 9788469437407
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  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen

  • La presente memoria trata dos campos diferentes del Análisis Matemático. La primera parte se inscribe en el marco del estudio de las Medidas Vectoriales. La segunda trata algunos problemas de Análisis Matemático, en particular sobre conjuntos lagunares de caracteres. ... El estudio de las medidas vectoriales ha tenido una influencia grande en el desarrollo de la geometría de los espacios de Banachn y la representación de los operadores. En la presente memoria estudiamos que hay ciertas propiedades de las medidas vectoriales que vienen determinadas por su rango, es decir por el conjunto de alores que toma la medida.En un reciente artículo R. Anamtharaman y J. Diestel [AD] preguntaban si era posible dar un ejemplo de dos medidas vectoriales que tuvieran el mismo rango pero que una tuviera variación acotada y la otra no. En el Capítulo I respondemos a esta cuestión, viendo que tal ejemplo es imposible en concreto el principal resultado de este capítulo (Teorema I.2.2) lo podemos enunciar.Teorema. Si la clausura convexa y cerrada de dos medidas vectoriales coinciden entonces tienen la misma variación total. Así que podemos decir que el rango de una medida vectorial determina su variación total. La prueba es realmente de carácter finito-dimensional, lo que en cierto modo contrasta con el problema original. Reposa sobre un teorema de determinación de medidas simétricas en la esfera. Dedicamos la primera sección a dar una prueba de este teorema (Teorema I.1.1).En la última sección estudiamos el problema de la monotonía de la variación total con respecto del rango; es decir, determinamos en qué espacios se verifica que si el rango de una medida µ contiene al rango de otra medida v entonces la variación total de µ domina a la de v. Estos espacios resultan ser los que son isomorfos a un subespacio de un L1. Respondemos así otra cuestión de [AD]. Algunos de los resultados de este capítulo han sido publicados en [Ro2].En el segundo capítulo tratamos otras dos propiedades que vienen determinadas por el rango, para medidas numerablemente aditivas. Los resultados más importantes del capítulo (Teorema II.3.1 y Teorema II.4.4) se pueden resumir de la siguiente manera.Teorema. Si µ y v son dos medidas vectoriales numerablemente aditivas cuyos rangos tiene la misma clausura convexa y cerrada, entonces: a) µ tiene variación s-finita si y sólo si la tiene v.b) µ tiene derivada Bochner con respecto a su variación si y sólo si v la tiene.La principal herramienta que utilizamos para la demostración de estos dos resultados es un teorema de descomposición de zonoides que usa la integral de Bartle. Dedicamos pues la primera sección a dar un repaso de las propiedades de esta integral; y la segunda a demostrar el teorema de descomposición (Teorema II.2.6). Hemos de hacer notar que el apartado a) no es cierto para medidas finitamente aditivas, como se ve en el Ejemplo II.3.2. En la última sección damos otra prueba del apartado b) que usa la relación entre operadores y medidas vectoriales.En la segunda parte nos adentramos en el campo del Análisis Armónico, en concreto en el de los siguientes �lagunares�. Estos son conjuntos donde la transformada de Fourirer se comporta de manera excepcional. Así por ejemplo, siendo G es un grupo abeliano compacto, y G grupo dual, un subconjunto ? de G es un conjunto de Sidon si toda función continua cuya transformada de Fourier se anula fuera de ? tiene una serie de Fourier absolutamente convergente.Gracias a un teorema de D. Rider [Ri], el estudio de los conjuntos de Sidon se relaciona con el del espacio de las series de Fourier aleatorias casi seguramente continúas, Cp.s.(G) [P4]. Un conjunto ? es de Sidon si toda f ? Cp.s? (G) tiene transformada de Fourier em l1 (G). Este es el principal resultado del Capítulo III (Teorema III.2.3). Una parte de los resultados de este capítulo está contenida en [Ro1].Por otro lado los trabajos de Pisier y de Bourgain destacaron el papel de la geometría de los espacios de Banach en el Análisis Armónico. Sobre todo de la teoría local. En este contexto pueden enmarcarse los resultados del capítulo IV en donde se estudia la relación entre ciertas propiedades funcionales de los espacios de diemsnión finita invariantes por traslaciones, que se corresponden con conjuntos finitos de caracteres, otras de tipo aritmético y otras propiedades métricas del grupo.En los resultados de este capítulo no hemos podido establecer relaciones complemente satisfactorias entre las diversas propiedades tratadas. Quedan así algunas cuestiones abiertas cuya resolución, más que por los resultados en sí, por las técnicas que deberían desarrollarse para su solución, podrían ser interesantes para el tratamiento de otros problemas del Análisis Armónico.