Resumen de Fórmulas de cuadratura con operadores diferenciales
El Capítulo 1, en su primera parte está de dicado a presentar los conceptos generales que se van a utilizar a lo largo del trabajo sobre operadores diferenciales lineales y sus correspondientes adjuntos, identidad de Green-Lagrange y expresión general de las fórmulas elementales de cuadratura siguiendo el método de Ghizzetti-Ussicini, pero considerando el operador diferencial:
L = En la segunda parte de este primer capítulo demostramos que, para el operador diferencial L, fijados m nodos de forma arbitraria (distintas), pueden conseguirse siempre fórmulas elementales de cuadratura con grado de precisión 2n-1. (Este resultado es original. No hemos encontrado resultado análogo en la bibliografía consultada, en particular en la reciente (1975) y completísima compilación de Philip G. Davis y PhilipRabinawitz. �Methods of Numerical Integration�. También obtenemos y estudiamos la expresión del error, dando dos cotas para el mismo y comparándolas entre sí. Estas fórmulas se simplifican bastante en el caso de ser los nodos equidistantes, obteniéndose que los nodos interiores que aparecen en la expresión de la fórmula van afectados de un peso común para cada orden de derivación de la función intengrando.
En el capítulo segundo se estudia el problema de Gauss, esto es como eliminar de la fórmula determinados órdenes de derivación de la función integrando, del que en el libro de A. Ghizzetti � A. Ossiciri solo se estudia la compatibilidad del mismo. Nosotros, para el operador diferencial L, profundizamos más, llegando incluso a obtener la expresión del error asociado a cada posible fórmula. Para ello, demostramos como obtener las funciones ?i(x) que aparecen en la expresión del error, la relación de recurrencia existente entre ellas y que si ?(x) = ?i(x) para X ? [xi, xi+1], es ?(x) una función continua.
En este capítulo se indica un método para obtener de forma mecánica las soluciones a este problema; en el caso particular de eliminar todos los órdenes de derivación de la función integrando se obtienen las fórmulas de integración que proporciona la interpolación (Como caso particular las de Newton-Cotes si los nodos son equidistantes).
En el capítulo tercero se estudia la obtención de fórmulas de cuadratura en que las derivadas del mismo orden vayan afectadas del mismo peso, común para todos los nodos. De este problema solo se estudian la compatibilidad en el libro de Ghizzetti-Ossicini. En nuestra memoria, al igual que en el problema de Gauss, estudiamos, para el operador L, las funciones que aparecen en la expresión del error, la relación de recurrencia que las liga, así como la forma de obtener de manera mecánica tales fórmulas de cuadratura y su correspondiente error. Demostramos en este capítulo como los pesos de las fórmulas y sus correspondientes constantes de error son independientes de la localización del intervalo de integración dependiendo únicamente de la amplitud del mismo.
En el capítulo cuarto, original no solo en resultados sino también en métodos, se estudia como se pueden conseguir fórmulas elementales de cuadratura donde solo aparecen valores de la función integrando y de sus derivadas sucesivas en los extremos el intervalo de integración. Demostramos como tales fórmulas afectan a cada orden de derivación de un peso común, en valor absoluto, para ambos extremos del intervalo. Se indica un método general para distintas fórmulas de este tipo, estudiando en particular aquellas en que la función que aparece en la expresión del error posee signo constante en cada uno de los subintervalos [xi, xi+1]. En este desarrollo se ha realizado el correspondiente estudio del error y se demuestra, también aquí, que los pesos y las constantes de error no dependen de la localización del intervalo de integración y sí de su amplitud y localización de los nodos en el mismo.
Hemos obtenido también en este capítulo fórmulas producto para integrales múltiples a partir de las fórmulas elementales para integrales simples. Estas fórmulas producto, también a diferencia de las clásicas, presentan en su expresión derivadas parciales de la función integrando.
En los apéndices A y B damos tablas que definen fórmulas de cuadratura según las expresiones halladas a lo largo del trabajo.
Los programas necesarios para la obtención de las tablas y demás resultados de forma mecánica y expuestos a través del trabajo, no se incluyen por motivos de espacio pero se encuentran disponibles.
