Ecuaciones diferenciales con argumentos desviados en el campo complejo

• Autores: Manuel Heredia Zapata
• Directores de la Tesis: Antonio de Castro Brzezicki (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 1974
• Idioma: español
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  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen

  • En nuestro trabajo hemos intentado iniciar un tratamiento general de las ecuaciones diferenciales con argumentos desviados en el campo complejo.En los dos primeros capítulos estudiamos las ecuaciones lineales de primero y segundo orden respectivamente, obteniendo para ellas soluciones por desarrollo en serie. A pesar de los ejemplos dados pro Robinson-(5), el disco unidad no es una frontera natural de las soluciones de la ecuación (2). Por ejemplo, para una ecuación:Y�(t) + a(t)y(w(t)) = 0,En la hipótesis de ser a(t) y w(t) holomorfas en el disco D de centro el origen y radio r y de verificarse en D la condición:(4)|w(t)|=|t| Obtenemos solución analítica en el disco D (determinada por su valor en el origen).Nuestro teorema contiene como caso particular al de Izumi y está formulado en una forma más natural y adecuada, ya que en la formulación del teorema de Izumi, aunque se supone w(t) holomorfa en una región que contiene al disco unidad siendo w(o)=0, la hipótesis |w(t)|<1, por el Lemade Schwartz y ésta referencia implícita al disco unidad se presta a confusión: ella es la causa del papel falsamente preponderante que tiene dicho disco en los ejemplos dados por Robinson.En el Capítulo tercero estudiamos los sistemas de ecuaciones que llamamos normales, a los que se pueden reducir los sistemas y ecuaciones de ordenes superiores de forma análoga a como ocurría con las ecuaciones diferenciales ordinarias.El método utilizado en los dos primeros capítulos, válido para ecuaciones lineales, es muy útil sobre todo para ecuaciones de primero o segundo orden porque proporciona la expresión cerrada de los coeficientes de la serie solución. Sin embargo, se complica extraordinariamente para las de orden superior y es inservible para ecuaciones no lineales y, por supuesto, para sistemas. Por esa razón, en nuestro trabajo hemos demostrado el teorema de existencia y unicidad por el método de las aproximaciones sucesivas, más apropiado e igual de potente, como se ve al tratar la prolongación de soluciones.En el Capítulo IV hemos hecho un estudio detallado del problema de valores iniciales. Hay que hacer notar el hecho de que en el campo complejo el tratamiento de dicho problema difiere notablemente del caso real. Una condición inicial consistente en dar los valores de la solución en un intervalo ya no es adecuada al pasar al campo complejo, donde una función analítica queda determinada por sus valores en un compacto. Se observará el paralelo existente con las ecuaciones diferenciales ordinarias, pues en el campo complejo, a pesar de los desvíos, el problema de valores iniciales se plantea en un punto y no en un intervalo. No obstante se presentan diferencias importantes, la más interesante de las cuales es que el wronskiano de un sistema fundamental puede anularse y sus ceros son puntos en que, en general, no tiene solución el problema de valores iniciales. Hemos terminado el trabajo con un estudio del comportamiento de las soluciones de las ecuaciones lineales de primero y segundo orden en las singularidades aisladas de los coeficientes, estudio que constituye el Capítulo V.