Resumen de Classification and regression with functional data: a mathematical optimization approach

María Asunción Jiménez Cordero

• español

  El objetivo de esta tesis doctoral es desarrollar nuevos métodos para la clasificación y regresión supervisada en el Análisis de Datos Funcionales. En particular, las herramientas de Optimización Matemática analizadas en esta tesis explotan la naturaleza funcional de los datos, dando lugar a nuevas técnicas que pueden mejorar los métodos clásicos y que conectan las matemáticas con las aplicaciones. El Capítulo 1 presenta las ideas generales, los retos y la notación usada a lo largo de la tesis. El Capítulo 2 trata el problema de seleccionar el conjunto finito de instantes de tiempo que mejor clasifica datos funcionales multivariados en dos clases predefinidas. El uso, no sólo de la información proporcionada por la propia función, sino también por sus derivadas será decisivo para mejorar la predicción, como se pondrá de manifiesto posteriormente. Para ello se formula un problema de optimización binivel continuo. Dicho problema combina la aplicación de la conocida técnica SVM (Support Vector Machine) con la maximización de la correlación entre la etiqueta de la clase y la denominada función score, vinculada a dicha técnica. El Capítulo 3 también se centra en la clasificación binaria de datos funcionales usando SVM. Sin embargo, en lugar de buscar los instantes de tiempo más relevantes, aquí se define un ancho de banda funcional para la denominada función kernel. De esta forma, se puede mejorar el rendimiento del clasificador, a la vez que se identifican los diferentes intervalos del dominio de la función, de acuerdo a su capacidad predictiva, mejorando además la interpretabilidad del modelo resultante. La obtención de tales intervalos se lleva a cabo mediante la resolución de un problema de optimización binivel por medio de un algoritmo alternante. El Capítulo 4 se centra en la clasificación de los llamados datos funcionales híbridos, es decir, datos que están formados por variables funcionales y estáticas (constantes a lo largo del tiempo). El objetivo es seleccionar las variables, funcionales o estáticas, que mejor clasifiquen. Para ello, se define un kernel no isotrópico que asocia un parámetro ancho de banda escalar a cada una de las variables. De forma análoga a como se ha hecho en los capítulos anteriores, se propone un algoritmo alternante para resolver el problema de optimización binivel, que permite resolver los parámetros del kernel. El problema de selección de variables presentado en el Capítulo 2 se generaliza al campo de la regresión en el Capítulo 5. El método de resolución combina la técnica denominada SVR (Support Vector Regression) con la minimización de la suma de los cuadrados de los residuos entre la verdadera variable respuesta y la prevista. Todos los algoritmos propuestos a lo largo de esta tesis han sido aplicados a bases de datos sintéticas y reales, quedando probada su efectividad.

• English

  The goal of this PhD dissertation is to develop new approaches for supervised classification and regression in Functional Data Analysis. articularly, the Mathematical optimization tools analyzed in this thesis exploit the functional nature of the data, leading to novel strategies which may outperform the standard methodologies and link mathematics with real-life applications. Chapter 1 presents the main ideas, challenges and the notation used in this thesis. Chapter 2 addresses the problem of selecting a finite set of time instants which best classify multivariate functional data into two predefined classes. Using, not only the information provided by the function itself but also its high-order derivatives will be crucial to improve the accuracy. To do this, a continuous bilevel optimization problem is solved. Such problem combines the resolution of the well-known technique SVM (Support Vector Machine) with the maximization of the correlation between the class label and the score. Chapter 3 also focuses on the binary classification problem using SVM. However, instead of finding the most important time instants, here we define a functional bandwidth in the so-called kernel function. In this way, accuracy may be improved and the most relevant intervals of the domain of the function, according to their classification ability, are identified, enhancing the interpretability. A bilevel optimization problem is formulated and solved by means of an alternating procedure. Chapter 4 is focused on classifying the so-called hybrid functional data, i.e., data which are formed by functional and static (constant over time) covariates. The goal is to select the features, functional or static, which best classify. An anisotropic kernel which associates a scalar bandwidth to each feature is defined. As in previous chapters, an alternating approach is proposed to solve a bilevel optimization problem. Chapter 5 generalizes the variable selection problem presented in Chapter 2 to regression. The solution approach combines the SVR (Support Vector Regression) problem with the minimization of sum of the squared residuals between the actual and predicted responses. An alternating heuristic is developed to handle such model. All the methodologies presented along this dissertation are tested in synthetic and real data sets, showing their applicability.