Resumen de Teoría de interpolación por superficies mínimas
- español
Teoría de Interpolación por Superficies Mínimas:
Una superficie inmersa en el espacio euclídeo n-dimensional para n>2 se dice que es una superficie mínima si es localmente área minimizante, es decir, trozos de la misma suficientemente pequeños son las superficies de menor área entre todas las posibles con el mismo borde. Este tipo de superficies han sido un importante foco de interés en el campo de la geometría diferencial.
Un hecho fundamental para el estudio de las superficies mínimas, sobre todo para el que realizamos en esta tesis, es el descubrimiento de una representación analítica de las superficies mínimas por Enneper y Weierstrass. La conocida como representación de Enneper-Weierstrass se fundamenta en el hecho de que las coordenadas de una inmersión mínima son armónicas, de forma que asocia a una superficie mínima ciertos datos de carácter holomorfo cumpliendo ciertas propiedades, siendo esta asociación en ambas direcciones. Es decir, a cada superficie mínima le corresponden unos "datos de Weierstrass" holomorfos y si tenemos unos "datos de Weierstrass" holomorfos cumpliendo ciertas propiedades podemos recuperar la superficie mínima.
La fórmula de representación de Weierstrass ha influido enormemente en el estudio de las superficies mínimas en el espacio euclídeo proporcionando poderosas herramientas provenientes del análisis complejo. En particular, los teoremas de Runge y Mergelyan para superficies de Riemann abiertas se han explotado para desarrollar una teoría de aproximación uniforme para inmersiones mínimas conformes en el espacio euclídeo análoga a la existente para funciones holomorfas de una variable.
Sin embargo, no ha sido hasta estos últimos años que esta relación entre el Análisis Complejo y las Superficies Mínimas ha alcanzado su apogeo gracias a las técnicas provenientes del análisis complejo englobadas en la teoría de Oka. Esta colaboración ha permitido construir superficies mínimas con interesantes propiedades globales y con completo control de la estructura compleja de las mismas, es decir, añadió a los resultados conocidos la posibilidad de controlar la estructura conforme u holomorfa de los ejemplos. Para un desarrollo más extenso del alcance de la relación entre la teoría de Oka y las superficies mínimas, véase [AF].
La Teoría de Aproximación por funciones holomorfas es un tema central en el Análisis Complejo que comenzó con el clásico teorema de Runge para caracterizar los subconjuntos del plano complejo sobre los que se pueden aproximar funciones holomorfas. Esta fuerte conexión existente que hemos descrito entre las Superficies Mínimas y el Análisis Complejo ha permitido demostrar generalizaciones de los Teoremas de Runge y Mergelyan para la familia de inmersiones mínimas conformes definidas sobre una superficie de Riemann abierta y con valores en el espacio euclídeo n-dimensional, véase [AL] para el caso de dimensión n=3 y [AFL] para el caso de dimensión arbitraria n>2.
Paralelamente a la aproximación, la Teoría de Interpolación por funciones holomorfas es también un tema central de estudio en el Análisis Complejo que comenzó con el clásico teorema de interpolación de Weierstrass que afirma que podemos prescribir los valores de una función entera sobre una sucesión de puntos divergente. Sin embargo, resultados relacionados con interpolación por superficies mínimas no habían sido tratados con anterioridad.
En esta tesis tratamos con el estudio de la interpolación por superficies mínimas en el espacio euclídeo n-dimensional demostrando una versión del teorema clásico de Weierstrass para superficies mínimas. Concretamente, demostramos que dado un subconjunto discreto y cerrado en una superficie de Riemann abierta, toda aplicación definida sobre este conjunto se extiende a una inmersión mínima conforme.
Este teorema es el primer resultado que trata con un problema de interpolación para la familia de superficies mínimas.
En la memoria se deduce este teorema como consecuencia de un resultado más general en el que aseguramos aproximación uniforme sobre compactos e interpolación jet de orden finito. Además, las soluciones construidas pueden elegirse completas, propias cuando la aplicación inicial lo sea, embebidas si n>4, y con control de su flujo.
Demostramos también un resultado de tipo Mergelyan-Weierstrass, es decir, de aproximación más interpolación, para inmersiones holomorfas dirigidas. Dentro de esta familia de curvas complejas se encuentran las curvas nulas, que son aquellas curvas complejas dirigidas por la cuádrica nula. Estas inmersiones holomorfas guardan una estrecha relación con las superficies mínimas: por un lado la parte real e imaginaria de una curva nula es una inmersión mínima conforme; y al contrario, una inmersión mínima conforme es localmente en cada dominio simplemente conexo la parte real de una curva nula.
Estos resultados aparecen en [AC2].
Dentro de la familia de superficies mínimas estudiamos un subconjunto particular: las superficies mínimas con curvatura total finita. Estas han sido también un importante objeto de interés en la literatura. Sin embargo, la flexibilidad holomorfa de los objetos involucrados no extiende a la categoría algebraica. Esto supone que los métodos de construcción que se basan en la teoría de Oka no proporcionan superficies mínimas completas en Rn con curvatura total finita. Solo en dimensión n=3 y haciendo uso de la representación espinorial para inmersiones mínimas conformes en R3, se ha podido demostrar un teorema de aproximación uniforme tipo Runge-Mergelyan para superficies mínimas completas con curvatura total finita, véase [L].
Para este subconjunto de superficies mínimas combinamos las técnicas que aparecen en [AC2] y en [L] para demostrar resultados análogos a los mencionados anteriormente para inmersiones mínimas conformes con curvatura total finita en R3. Estos resultados aparecen en [ACL].
Estos últimos resultados inician el camino hacia una nueva línea de investigación, conocida en la literatura por la expresión inglesa: "optimal hitting problems", y que puede aplicarse al ambiente de las superficies mínimas completas en R3 con curvatura total finita. Este problema consiste en decidir cuál es la superficie mínima más sencilla en términos de la curvatura total finita que contiene un subconjunto finito dado de R3. Es decir, determinar de entre todas las superficies mínimas que pasan por un subconjunto finito de puntos dado, aquellas que tienen curvatura total finita más pequeña (en valor absoluto).
En relación a este problema proporcionamos una cota para el número de cortes de una recta con una superficie mínima de curvatura total finita que no la contiene. Mediante esta cota demostramos un resultado sobre la existencia de conjuntos que están en oposición a ciertas subfamilias de superficies mínimas con curvatura total finita acotada por un valor concreto, significando esto que ese conjunto no está contenido en la imagen de ninguna inmersión de la subfamilia que hemos fijado inicialmente. Estos resultados pueden encontrarse en [ACL].
Los últimos resultados que aparecen en la tesis son relativos a la existencia de superficies mínimas completas y densas en el espacio euclídeo de dimensión n>2. En este sentido es natural preguntarse qué dominios de Rn contienen superficies mínimas completas que sean densas en él; hasta entonces ningún dominio excepto el propio R3 se sabía que cumplía esa propiedad.
Proporcionamos un resultado general de existencia de superficies mínimas completas y densas en cualquier dominio de Rn para dimensión arbitraria n>2. Construimos ejemplos con topología arbitraria y, si n>4, sin autointersecciones. Además, cuando el dominio es todo Rn proporcionamos ejemplos no solo con cualquier topología sino con estructura compleja arbitraria. No puede existir un resultado para dominios generales y para cualquier estructura conforme pues un dominio general no contiene superficies mínimas con estructura compleja arbitraria. Demostramos un teorema que proporciona inmersiones mínimas conformes contenidas en un dominio arbitrario con la estructura conforme de cualquier superficie de Riemann bordeada. Ambos resultados aparecen en [AC1].
- English
Interpolation Theory by Minimal Surfaces:
An immersed surface in the Euclidean space of dimension n>2 is said to be a minimal surface if it is locally area-minimizing, that is to say, small pieces of it are the ones with least area among all the surfaces with the same boundary. This family of surfaces has been an important topic of research in differential geometry.
A crucial fact in minimal surface theory was the discovery of an analytic representation formula proved by Enneper and Weierstrass. The so-called Enneper-Weierstrass representation formula characterizes any minimal surface in the n-dimensional Euclidean space in terms of holomorphic data on a Riemann surface with certain properties.
The Enneper-Weierstrass representation formula has greatly influenced the study of minimal surfaces in the Euclidean space by providing powerful tools coming from complex analysis. In particular, Runge-Mergelyan theorem for open Riemann surfaces has been exploited in order to develop a uniform approximation theory for conformal minimal surfaces in Euclidean spaces which is analogous to the one of holomorphic functions in one complex variable.
Nevertheless, the true power of the relation between minimal surfaces and complex analysis has been exploited only recently with the use of the powerful complex analytic methods coming from Oka theory. This connection has allowed to prove existence results for minimal surfaces with interesting global properties and prescribing the conformal structure. For a detailed explanation see the survey [AF].
Approximation theory by holomorphic functions is a central topic in complex analysis. It began with the classical Runge Theorem that characterizes topologically the subsets of the complex plane for which any holomorphic function on them may be uniformly approximated by entire functions. This connection has allowed to prove generalizations to the Runge and Mergelyan theorems for the family of conformal minimal immersions, see [AL] for the n=3 dimensional case and [AFL] for the general case n>2.
Besides approximation theory, interpolation theory by holomorphic functions is also a central topic in complex analysis. It began in 1885 with the classical Weierstrass interpolation theorem asserting that it is possible to prescribe the values of an entire function on a divergent sequence of points in the Euclidean complex plane. However, interpolation results for conformal minimal immersions have not been treated before.
In this thesis we deal with an interpolation problem for the family of conformal minimal immersions providing an analogous to the Weierstrass interpolation theorem for conformal minimal immersions. Concretely we prove that given a closed and discrete subset in an open Riemann surface, every map defined on it extends to a conformal minimal immersion.
This theorem is the first result dealing with an interpolation problem for conformal minimal immersions.
We deduce this result as a consequence of a much more general result that ensures not only interpolation but also jet-interpolation of given finite order, approximation on holomorphically convex compact subsets, control on the flux, and global properties such as completeness and, under natural assumptions, properness and injectivity.
We also prove a Mergelyan-Weierstrass type theorem, that is, both approximation and interpolation, for a family of directed holomorphic immersions which includes null curves: those complex curves directed by the null quadric. It is well known that real and imaginary parts of null curves are conformal minimal immersions whose flux map vanishes everywhere; and conversely, every conformal minimal immersion is locally, on every simply-connected domain, the real part of a null curve.
These results appear in [AC2].
Minimal surfaces with total finite curvature has been one of the main focus of interest in the global theory of minimal surfaces in the 3-dimensional Euclidean space. They have the simplest topological, conformal and asymptotic geometry. However, the holomorphic flexibility of the null quadric does not extend to the algebraic category; this is why the construction methods developed for the above results do not provide complete minimal surfaces with finite total curvature. Only in dimension n=3 and exploiting the spinorial representation for minimal surfaces, it was possible to prove a Runge-Mergelyan type uniform approximation theorem for complete minimal surfaces with finite total curvature, see [L].
For this family of surfaces we combine the ideas of [AC2] and [L] to prove analogues to the aforementioned results for conformal minimal immersions with finite total curvature. These results appear in [ACL].
These theorems open the door to a new line of research, namely, the study of optimal hitting problems in the framework of complete minimal surfaces in R3 with finite total curvature. This problem consists on deciding which is the simplest minimal surface that contains a given finite subset in terms of the total finite curvature. That is, determining the surface with smaller finite total curvature (in absolute value) among all the surfaces that contains a fixed finite subset of points.
In this line, we shall provide an upper bound on the cardinal of the intersection between any affine line and a minimal surface with finite total curvature not containing the line. With this bound in hand, we prove an existence result for subsets that are against to the families of minimal surfaces with total curvature bounds for some prescribed value, meaning that there do not exist minimal surfaces in this family containing the set.
The last results appearing in the thesis are existence results for complete and dense minimal surfaces in the Euclidean space. It is a natural question whether a given domain in the Euclidean space contains complete minimal surfaces which are dense on it; prior to our results, only the whole space was known to enjoy this property.
We show a general existence result for complete minimal surfaces which are densely immersed in any given domain of Rn for arbitrary dimension n>2. We provide such surfaces with arbitrary orientable topology and flux map; moreover, if n>4 we give examples with no self-intersections. Furthermore, in the case when the domain is the whole space then we construct such surfaces not only with arbitrary topology but also with arbitrary complex structure. Such a result for any general domain and any conformal structure does not hold true since it is known that a general domain does not contain minimal surfaces with arbitrary complex structure. We also prove that every domain contains complete minimal surfaces which are dense on it and whose complex structure is any given bordered Riemann surface. Both results are presented in [AC1].
Bibliografía/Bibliography [AC1] A. Alarcón and I. Castro-Infantes. Complete minimal surfaces densely lying in arbitrary domains of Rn. Geom. Topol., 22(1):571–590, 2018.
[AC2] A. Alarcón and I. Castro-Infantes. Interpolation by conformal minimal surfaces and directed holomorphic curves. Analysis \& PDE, 12(2):561–604, 2019.
[ACL] A. Alarcón, I. Castro-Infantes, and F. J. López. Interpolation and optimal hitting for complete minimal surfaces with finite total curvature. Preprint arXiv1712.04727.
[AF] A. Alarcón and F. Forstnerič. New complex analytic methods in the theory of minimal surfaces: a survey. J. Aust. Math. Soc., in press.
[AFL] A. Alarcón, F. Forstnerič, and F. J. López. Embedded minimal surfaces in Rn. Math. Z., 283(1-2):1–24, 2016.
[AL] A. Alarcón and F. J. López. Minimal surfaces in R3 properly projecting into R2. J. Differential Geom., 90(3):351–381, 2012.
[L] F. J. López. Uniform approximation by complete minimal surfaces of finite total curvature in R3. Trans. Amer. Math. Soc., 366(12):6201–6227, 2014.
