Resumen de Funcions admissibles i ondetes ortonormals a r^n
La tesis está estructurada en siete capítulos en los cuales se tratan diversos problemas relacionados con la teoria de funciones admisibles y ondículas ortonormales en dimensión mayor que 1.
En el primer capítulo se generaliza el concepto de función admisible en dimensión n>1, sustituyendo las dilataciones reales por subgrupos del Grupo General Lineal GL(n,R).
En el segundo capítulo se caracterizan los subgrupos de GL(n,R) que admiten funciones admisibles, tanto en el caso discreto como en el continuo. Este problema es especialmente difícil en el caso de los grupos continuos que tienen todas las órbitas de medida zero, y se ha resuelto relacionando la existencia de funciones admisibles con propiedades del espacio de órbitas utilizando ciertas medidas con propiedades especiales. Se obtiene así una caracterización de los grupos admisibles en función de la existencia de un dominio fundamental para l'acción del grupo en R^n En el tercer capítulo se trata de una manera especial el caso n=2.
Se clasifican los subgrupos de Lie conexos de dimensión 1 i 2 de GL(2,R) i sus subgrupos discretos. A continuación se estudian con detalle las órbitas y la condición de admisibilidad para cada uno de ellos.
En el capítulo 4 se estudia la existencia de funciones admisibles con propiedades especiales: con soporte compacto, de banda limitada, de la clase de Swartz, con un determinado grado de regularidad, con un determinado número de momentos nulos etc. y se dan diversos ejemplos. Estas propiedades son importantes en muchas de las aplicaciones. Una de ellas es la caracterización de la regularidad Lipschitz de una función de L^2 en función del decrecimiento de su transformada continua en ondículas. Este problema se trata en el capítulo 5.
Finalmente se considera el problema de la construcción de ondículas ortonormales para subgrupos discretos de GL(n,R). En el capítulo 6 se consideran las llamadas MSF-ondículas (ondículas con soporte freqüencial mínimo), que són caracterizadas en términos del conjunto que soporta la transformada de Fourier de la ondícula, llamado wavelet set. Estas ondículas no tienen buenas propiedades de decrecimiento en el infinito, al ser su transformada de Fourier la función característica de un conjunto. En el capítulo 7 se construyen ondículas ortonomales regulares con decrecimiento rápido así como marcos de ondículas regulares, utilizando una variante del método de Meyer en una dimensión que es aplicable en dimensión superior.
