Resumen de On sanwiched surface singularities and complete ideals
El interés original en las singularidades sandwiched procede de una pregunta de J, Nash a H. Hironaka a principios de los años sesenta: es posible resolver las singularidades de una variedad algebraica reducida mediante una sucesión finita de transformaciones de Nash? En 1983, H. Hironaka demuestra que mediante una sucesión finita de transformaciones de Nash normalizadas aplicadas a una superficie se obtiene una superficie X que domina birracionalmente una superficie no singular. Por definición, las singularidades de la superficie X son singularidades sandwiched. En 1990 M. Spivakovsky demuestra que las singularidades sandwiched también se pueden resolver mediante transformaciones de Nash normalizadas, dando así una respuesta afirmativa a la pregunta inicial de Nash para el caso de superficies sobre C.
Desde entonces ha habido un interés constante en las singularidades sandwiched. Desde el punto de vista de la teoría de deformaciones por de Jong y van Straten (1998), y también por Gustavsen (2003). También han recibido una atención especial como campo de pruebas para la conjetura de Nash y el problema de los wedges (cuñas) asociado por parte de Lejeune-Jalabert y Reguera (1999), donde la idea principal consiste en extender algunos de los argumentos combinatorios propios de las singularidades de superficies tóricas a singularidades sandwiched. Las singularidades sandwiched son aquellas singularidades que se obtienen por la explosión de un ideal completo en el anillo local de un punto regular en una superficie, y por tanto, son singularidades racionales. Éstas son singularidades aisladas cuya resolución no altera el género aritmético de la superficie. Entre las singularidades sandwiched se encuentran los cocientes cíclicos y las singularidades minimales y constituyen pues, una amplia clase de singularidades racionales. Las singularidades sandwiched son Cohen-Macaulay, pero no son intersección completa en general, y no existen ecuaciones simples o fáciles para ellas. El objetivo de esta tesis es estudiar las singularidades sandwiched a través de la geometría de los puntos base infinitamente próximos de los ideales completos explotados para obtenerlas.
Los puntos infinitamente próximos son una herramienta antigua para describir singularidades, y ya aparecen en el trabajo de M. Noether. Su uso y sus propiedades, como la proximidad, el satelitismo, etc. permiten una descripción esclarecedora del comportamiento de las singularidades de curvas planas y, en general, proporcionan un estudio preciso de las singularidades de variedades en un contexto más amplio. Además del libro de Enriques y Chisini (1915), otras referencias básicas para su estudio son los trabajos de Zariski sobre superficies y sobre saturación (1971) y el libro sobre curvas de Semple y Kneebone (1959). La teoría de puntos infinitamente próximos ha sido revisada y desarrollada en lenguaje moderno por Casas-Alvero (2000).
Los ideales completos son introducidos por Oscar Zariski el año 1938. Zariski desarrolla una teoría aritmética paralela a la teoría geométrica de sistemas lineales de curvas planes a través de un conjunto de puntos con multiplicidades asignadas (multiplicidades virtuales). Uno de los hechos clave de esta teoría es que todo ideal completo en un anillo local regular de dimensión dos tiene una factorización única en ideales completos irreducibles; estos ideales irreducibles se llaman ideales simples. Un hecho relevante para nuestros propósitos es el resultado que establece que todo ideal completo tiene un clúster de puntos base infinitamente próximos y que este clúster determina el ideal original.
Como resultados base relacionando las singularidades sandwiched en una superficie X y los puntos base del ideal completo explotado para obtener esta superficie, determinamos los puntos singulares de X, sus multiplicidades y sus ciclos fundamentales en términos de los puntos base de I, y damos una fórmula explícita por la multiplicidad de los puntos de las curvas en X también en función de estos puntos base. Estos hechos nos permiten estudiar el existencia de ecuaciones locales para las curvas de X. Deducimos consecuencias relativas a sus órdenes de singularidad y realizamos cálculos explícitos relacionados con la existencia de divisores de Cartier sobre X pasando por singularidades sandwiched y con propiedades prefijadas. En particular, probamos que las rectas tangentes a las componentes excepcionales de X que pasan por una misma singularidad sandwiched son linealmente independientes. Todo esto nos lleva al estudio de los haces de ideales completos con cosoporte finito en X, y a deducir resultados relativos a la factorización y semi-factorización de ideales completos en el anillo local de una singularidad sandwiched (esto es, una extensión birracional normal de un anillo local regular de dimensión dos).
También obtenemos algunos resultados relativos a la conjetura de Nash sobre arcos por una singularidad sandwiched. En una pre-publicación de 1968, que apareció publicada en 1995, Nash introducía el estudio de los espacios de arcos como una nueva vía para entender las singularidades. La principal cuestión, conocida más adelante como la conjetura de Nash, es saber si cada componente esencial de la resolución de un punto singular da lugar a una componente irreducible del espacio de arcos que pasan por este punto. La Conjetura de Nash establece que efectivamente es así, y por tanto, que hay una biyección entre el conjunto de componentes irreducibles del espacio de arcos y el conjunto de componentes esenciales de una singularidad. En un artículo aparecido en 2004, Ishii y Kollár dan una respuesta afirmativa a la cuestión de Nash para singularidades tóricas de cualquier dimensión, pero prueban que la conjetura es falsa en general. Por nuestra parte, probamos que las componentes excepcionales reducidas de la resolución de una singularidad sandwiched dan lugar efectivamente a componentes irreducibles del espacio de arcos. También proporcionamos una simplificación del problema, probando que una respuesta afirmativa a la conjetura para las singularidades sandwiched es equivalente a una respuesta afirmativa para singularidades primitivas (singularidades que aparecen al explotar un ideal simple). Más recientemente, A. Reguera ha demostrado la conjetura para una amplia gama de singularidades, incluidas las singularidades sandwiched en general (2005).
