Resumen de Influencia del potencial de Hardy en ecuaciones elípticas y parabólicas
Los protagonistas de la Tesis son el clásico potencial de Hardy y los términos de orden cero y uno que son potencias de la incógnita o del módulo de su gradiente respectivamente, Todos estos términos actúan en la Ecuación del Calor y la Ecuación de Laplace. Los problemas que se tratan estudian cómo cooperan o compiten el potencial de Hardy con dichas potencias. Es un perfecto laboratorio para estudiar casos límite y descubrir fenómenos nuevos. Muchos de los resultados se extienden a otros operadores. %&/En primer lugar, se analiza en la Ecuación de Laplace, la influencia conjunta del potencial de Hardy y un término cuadrático del módulo del gradiente. Si el cuadrado del gradiente aparece en el lado derecho de la ecuación (compitiendo con el operador de Laplace) se demuestra un resultado de no existencia de solución positiva en el sentido más débil posible, es decir, exigiendo las condiciones mínimas necesarias para que la ecuación tenga significado en el sentido de las distribuciones. Como consecuencia de este resultado tan fuerte de no existencia, se produce un fenómeno de explosión de los problemas aproximados (truncando el potencial de Hardy).%&/Si el cuadrado del gradiente aparece en el lado izquierdo de la ecuación (cooperando con el operador de Laplace), el resultado es completamente diferente. Se prueba la existencia de solución positiva para todo parámetro positivo acompañando al potencial de Hardy, sin necesidad de restringir su tamaño, y para toda función positiva integrable, sin imponer condiciones extras.%&/El fenómeno de rotura de resonancia y efecto regularizante se analiza en pesos más generales y con una potencia q menor que 2, llamados pesos admisibles, entre los que en particular, se encuentra el potencial de Hardy como laboratorio de pruebas. Extendemos estos resultados a operadores en forma divergencia, con funciones más generales que dependen de la incógnita, de su gradiente y con datos en los que no imponemos condiciones de signo. %&/Para analizar la influencia del potencial de Hardy en el caso de evolución, se parte del estudio de la sumabilidad de las soluciones de la Ecuación del Calor con respecto a la sumabilidad del término fuente, completando algunos resultados clásicos.%&/Al perturbar con el potencial de Hardy, se prueba que las supersoluciones en general no están acotadas y por tanto, el estudio se sale de marcos clásicos.%&/Se estudia en primer lugar el problema semilineal tomando la potencia crítica optimal para el problema elíptico asociado. Se comprueba que esta misma potencia es la crítica para determinar la existencia o la no existencia positiva en la ecuación del calor semilineal perturbada con el potencial de Hardy. El análisis del problema de Cauchy asociado, permite obtener el exponente de Fujita. %&/El problema de evolución en el que aparece de forma conjunta el potencial de Hardy y una potencia p del gradiente a la derecha de la ecuación, es particularmente interesante. Por un lado, plantea serias dificultades técnicas, apareciendo la necesidad de demostrar un principio de comparación que en particular extiende un resultado de Alaa-Pierre para el caso elíptico asociado. Por otro lado, se hallan profundas diferencias con respecto a la ecuación del calor. Sin el potencial de Hardy, bajo ciertas hipótesis en el dato inicial, se sabe la existencia de solución para toda potencia p mayor que 1. Con el potencial de Hardy, aparece un exponente crítico de tal forma que a partir de él no hay solución positiva para ningún dato inicial no trivial. %&/Por otro lado, en el problema de Cauchy asociado, con presencia del potencial de Hardy, existe un exponente de tipo Fujita tal que por debajo de él todas las soluciones no negativas explotan en tiempo finitio. Sin embargo, en ausencia del potencial de Hardy, existe solución para dato no trivial. Los resultados son bastante sorprendentes, además, hay una disconinuidad del comportamiento cuando el parámetro que acompaña al potencial de Hardy tiende a cero, a diferencia del caso semilineal.
