Resumen de Effective algorithms for the study of the degree of algebraic varieties in offsetting processes
- español
El trabajo que se presenta en esta tesis pertenece al Área del Cálculo Simbólico, y en particular, al subárea de la Geometría Algebraica (Simbólica) Efectiva para curvas y superficies, Concretamente, en esta tesis se estudia la estructura de grados del polinomio multivariable que define el objeto geométrico que resulta al aplicar procesos de offsetting. Es decir, estudiamos su grado total y sus grados parciales con respecto a cada una de las variables, incluyendo la variable distancia. Para llevar a cabo este objetivo, la tesis se compone de cuatro capítulos y dos apéndices, cuya estructura se detalla a continuación:
• En el Capítulo 1, titulado Preliminaries and Statement of the Problem, se introducen las nociones de offset genérica y de polinomio de la offset genérica, junto con sus propiedades básicas. En este capítulo se sientan las bases teóricas de nuestro objeto de estudio. En particular, se prueba la propiedad fundamental del polinomio de la offset genérica,que afirma que dicho polinomio especializa bien; es decir, para casi todo valor que se asigne a la variable distancia la especialización del polinomio ,de la offset genérica, es el polinomio que define a la offset para ese valor concreto tomado como distancia. Una vez establecida dicha conexión con la teoría clásica, se define el problema central de esta tesis, que es el problema del grado de la offset genérica. Además se presenta la notación y terminología asociadas a ese problema. Se incluyen también en este capítulo algunos lemas técnicos, que tratan sobre la aplicación de la resultante para el análisis de problemas de intersección de curvas.
• El Capítulo 2, titulado Total Degree Formulae for Plane Curves, trata del problema del grado total para la offset genérica de una curva plana. Nuestro estudio incluye el caso general en el que la curva viene dada por su ecuación implícita, y también, para curvas racionales, el caso de curvas dadas paramétricamente. En ambos casos obtenemos fórmulas eficientes para el grado total de la offset genérica. Además se presentan otras fórmulas que pueden utilizarse para el estudio teórico del grado total de la offset. En este capítulo se introducen las nociones de sistema offset-recta, curva auxiliar y puntos intrusos. Estas tres nociones juegan un papel esencial en nuestro tratamiento del problema del grado. Estas nociones se utilizan para establecer un marco común para el desarrollo de fórmulas para el grado basadas en resultantes. En el siguiente capítulo ese marco común se aplica para obtener diversas fórmulas de grado.
• El Capítulo 3, titulado Partial Degree Formulae for Plane Curves, es una continuación natural del capítulo precedente. Aplicando la estrategia, métodos y lenguaje del Capítulo 2, en este capítulo se completa el análisis de la estructura de grados de la offset genérica para curvas planas. En concreto, obtenemos fórmulas para calcular cualquier grado parcial de la offset genérica, y también el grado con respecto a la variable distancia. Estas fórmulas cubren tanto el caso implícito como el caso paramétrico. Además se muestran otras fórmulas que pueden utilizarse para el análisis teórico del problema del grado.
• El Capítulo 4, titulado Degree Formulae for Rational Surfaces, trata el problema del grado para superficies. La mayor parte del capítulo se dedica a la demostración de una fórmula de grado total para superficies racionales, dadas paramétricamente. Esta fórmula puede aplicarse siempre que la superficie generadora satisfaga cierta condición muy general. En concreto, tenemos que asumir que existe a lo sumo una cantidad finita de valores de la distancia para los que la offset de la superficie pasa por el origen. La fórmula requiere el cálculo de una resultante generalizada univariada, y del máximo común divisor de polinomios con coeficientes simbólicos. La sección final de este capítulo contiene un enfoque alternativo para el estudio de la estructura de grados de una superficie de revolución, independiente de los resultados previos de este capítulo. Con este enfoque se obtiene una solución completa y efectiva para el problema del grado en este caso.
• La tesis se completa con dos apéndices, que contienen, respectivamente, un resumen de las fórmulas de grado obtenidas en esta tesis y los resultados de algunos cálculos, correspondientes a demostraciones o ejemplos, que, por su longitud, resulta más conveniente incluir aquí.
- English
The research in this thesis is framed within the field of Symbolic Computation, and more specifically in the subfield of Effective (Symbolic) Algebraic Geometry of Curves and Surfaces. In particular, this thesis focuses on the study of the degree structure of the multivariate polynomial defining the geometric object generated when applying offsetting processes. That is, we study its total and partial degrees w.r.t. each variable, including the distance variable. In order to do this, the thesis is structured into four chapters and two appendixes, as follows.
• Chapter 1 presents the notions of generic offset and generic offset polynomial, with their basic properties. This chapter provides the theoretical foundation of our subject of study. In particular, we prove the fundamental property of the generic offset polynomial; i.e., that this polynomial specializes to the polynomial defining the classic offset for all, but at most finitely many values of the distance.
After establishing the connection with the classical theory, we define the central problem of this thesis: the degree problem for the generic offset. We also introduce the associated notation and terminology. The chapter includes also some technical lemmas about the use of resultants for the analysis of curve intersection problems.
• Chapter 2 deals with the total degree problem for the generic offset of a plane curve. We consider the general case where the curve is given by its implicit equation and, for rational curves, we also consider the parametric representation of the curve. In both cases we provide efficient formulae for the total degree of the generic offset. Furthermore, we provide additional formulae that can be applied to obtain theoretical information about the total degree of the offset. In this chapter we will meet the notions of offset-line system, auxiliary curve and fake point. These three notions play an essential role in our approach to the degree problems studied in this thesis. We use them to develop a common framework for resultant-based degree formulae, that will be applied to several different degree problems in the following chapter.
• Chapter 3 is a natural continuation of the preceding one. In this chapter we apply the strategy, methods and language of Chapter 2, to complete the analysis of the degree problem for plane curves. Thus, we provide efficient formulae for the partial degree and the degree w.r.t the distance variable of the generic offset, both in the implicit and parametric cases. Besides, we also provide formulae that are suitable for a theoretical analysis of these degree problems.
• Chapter 4 deals with the degree problem for surfaces. The major part of this chapter is dedicated to present a total degree formula for rational surfaces, given parametrically. This formula can be applied under a very general assumption about the surface. Namely, we need to assume that there are at most finitely many distance values for which the offset of the surface passes through the origin (see Assumption 4.1, page 122). The formula requires the computation of a univariate generalized resultant and gcds, of polynomials with symbolic coefficients. In the final section of this chapter we apply an alternative approach, independent of the previous results in this chapter, to study the offset degree structure for surfaces of revolution. We provide a complete and efficient solution for this case.
• Appendix A contains a summary of the degree formulae obtained in this thesis. Appendix B shows the results of some computations, corresponding to proofs or examples, that, due to their length, are more conveniently placed here.
