Resumen de The dirac operator with electromagnetic potentials

Naiara Arrizabalaga Uriarte

• El objetivo principal de la tesis es el estudio de la extensiones autoadjuntas del operador de Dirac con potenciales electromagnéticos utilizando para ello las desigualdades de Hardy-Dirac. Otro interesante aspecto de dicho operador es el hecho de que se la ecuación asociada se puede entender como una ecuación dispersiva.Primero construimos extensiones autoadjuntas del operador de Dirac con potenciales diagonales electrostáticos generalizando así resultados anteriores y mejorando sus condiciones. Estos operadores de Dirac están originalmente definidos en el espacio de funciones infinitamente diferenciables y de soporte compacto. También determinamos los dominios en los que dichos operadores son autoadjuntos. Los potenciales estudiados son matrices diagonales cuyos elementos son funciones reales o bien medidas.Por otro lado también estudiamos potenciales magnéticos con una singularidad en el origen. La construcción de la extensiones autoadjuntas para todos los potenciales estudiados están relacionadas con desigualdades de tipo Hardy-Dirac, las cuales se prueban en este mismo trabajo y tienen un interés independiente.Otro aspecto interesante de la ecuación de Dirac es que se puede entender como una ecuación dispersiva. Relacionado con este tema construimos contraejemplos para las esimaciones de Strichartz para la ecuación de Dirac dando también contraejemplos para la ecuación de ondas.SUMMARYThe main purpose of this thesis is to study the self-adjointness and essential self-adjointness of the Dirac operator with electromagnetic potentials by using Hardy-type inequalities.We first construct self-adjoint extensions of the Dirac operator with diagonal electrostatic potentials. Those Dirac operators are originally defined in the space of infinitely differentiable functions with compact support. We also determine the domains in which those operators are self-adjoint. The electric potentials for which we prove the self-adjointness are defined as diagonal matrix potentials, where their elements are real functions or in some cases singular measures.We are also interested in the magnetic potentials, in particular, in those that have a singularity at the origin. Therefore, we study the essential self-adjointness of the Dirac operator under the influence of the external electromagnetic potentials. The self-adjointness, in each case, is related to a Hardy-type inequality, which is also an object of study in this work.Finally, since the Dirac equation can be seen as a dispersive model we are interested in estimating this dispersion for the magnetic case by using the Strichartz estimates. In particular, we have constructed some counterexamples for the Strichartz estimates for the solution of the Dirac equation with slowly decay of magnetic potential, up to the critical (scaling invariant) case.