Superficies de energía mínima sobre triangulaciones de tipo Powell-Sabin

• Autores: Pedro González Rodelas
• Directores de la Tesis: Miguel Angel Fortes Escalona (dir. tes.) , Miguel Pasadas Fernández (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2009
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Victoriano Ramírez González (presid.) , María José Ibáñez Pérez (secret.) , María Moncayo Hormigo (voc.) , Allab Guessab (voc.) , María Cruz López de Silanes Busto (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: DIGIBUG
• Resumen

  • Esta memoria de tesis es una recopilación de varias contribuciones y aplicaciones en el campo de la aproximación de superficies mediante splines bivariados de energía mínima sobre triangulaciones de tipo Powell-Sabin de un dominio poligonal adecuado del plano, Se plantean y resuelven problemas de ajuste de datos lagrangianos en tres dimensiones que se pretende aproximar mediante superficies splines de clase suficiente sobre triangulaciones uniformes y no uniformes adecuadas (Delta-1 y alfa-triangulaciones), tanto en el caso de datos sin ruido como con ruido, obteniéndose resultados de convergencia en ambos casos.

    Dichas aproximaciones se obtienen minimizando un determinado funcional que depende de algunos parámetros de ajuste/suavizado, por lo que las superficies resultantes varían en función de los valores de dichos parámetros. Por ello también se plantea la cuestión de la estimación de los valores óptimos de dichos parámetros, que hagan que el "error cuadrático medio" de nuestras aproximaciones sea mínimo, obteniéndose asimismo resultados en este sentido, gracias a la adaptación a este caso de una técnica conocida como "de validación cruzada". Todo este material ha sido compendiado a lo largo de los Capítulos 1 y 2 de esta memoria de tesis, tomando principalmente como funciones test, a las que se les ha aplicado las técnicas y algoritmos desarrollados, las conocidas funciones de Franke y de Nielson.

    Posteriormente, en el Capítulo 3, hemos adaptado y empleado la conocida "técnica de multiresolución" para desarrollar algoritmos de "reducción de ruido" y de "localización de energía" en este contexto de las superficies de energía mínima. Para la posterior comprobación práctica de la eficacia de estas técnicas hemos elegido respectivamente cierta función exponencial y otra conoidal, con propiedades especialmente características para cada tipo de problema a tratar.

    Finalmente, en el Capítulo 4, tratamos extensamente el problema del "rellenado de agujeros" en una superficie, definida explícitamente mediante una superficie regular de dos variables sobre un dominio poligonal, de la que no se conocen sus valores en determinada región, conocida a priori, de su dominio de definición. Dicho rellenado se podrá realizar de tres formas diferentes: de manera discontinua, continua o con clase 1. La idea en todo caso será definir una nueva función de reconstrucción, que respete y/o aproxime la original lo más fielmente posible y que recubra el agujero de manera "homogénea y coherente", teniéndose en cuenta pues ciertas particularidades específicas en función del tipo de rellenado a efectuar.

    Estos capítulos se complementan con un extenso Apéndice, donde se recogen numerosas definiciones y conceptos previos, así como se demuestran numerosos resultados técnicos auxiliares, necesarios para el seguimiento autocontenido de los resultados y técnicas expuestas a lo largo de toda la memoria de tesis.

    Todo ello se complementa con una parte introductoria, a modo de presentación y resumen, en varios idiomas extranjeros: inglés y francés (aparte del español) con el objeto de que la tesis sea lo más accesible posible para la comunidad científica no hispanohablante.