Resumen de Three problems in spaces of analytic functions
La tesis está estructurada en tres capítulos donde se tratan tres problemas naturales de teoría geométrica de funciones, En el primer capítulo se considera un problema de interpolación por funciones analíticas que llevan el disco unidad del plano complejo en sí mismo. Se trata de interpolar sucesiones de valores que tienen una regularidad impuesta por el Lema de Schwarz. De esta forma se obtiene un problema de interpolación que es intermedio entre la interpolación de Nevanlinna-Pick y la interpolación libre de L. Carleson. Las correspondientes sucesiones de interpolación definidas son conformemente invariantes, y es natural preguntarse por una descripción geométrica de ellas. En la tesis se presenta una caracterización geométrica en términos de una condición de separación (provocada por la propia definición) y una condición de densidad hiperbólica. Las herramientas usadas en la compleja demostración del resultado incluyen técnicas de espacios BMO, estimaciones de la función maximal no tangencial, medidas de Carleson, soluciones acotadas de ecuaciones detla-barra y construcciones diádicas con tiempo de parada. La principal dificultad del problema radica en la construcción de una solución no analítica del problema de interpolación, con un buen control sobre su gradiente hiperbólico. Es por ello que reducimos la construcción al contexto diádico y aplicar un cierto lemma de recubrimiento que nos permite tener el soporte del gradiente localizado. Después de esto, para la obtención de la solución no analítica es necesario regularizarla, a través de la definición de un adecuado centro de masas en el espacio hiperbólico, parte que cuenta con una sección propia por su interés, aunque diste del tema del capítulo.
El segundo capítulo está dedicado al estudio de un análogo discreto de un conocido problema abierto para aplicaciones conformes. En los años noventa N. Makarov propuso el problema de calcular el denominado radio espectral de medias que controla la distorsión de las aplicaciones conformes del disco unidad a un dominio del plano complejo. La identificación de esta función, denominada Espectro Universal de Medias Integrales, contiene la respuesta a algunas importantes conjeturas que aún continúan abiertas, como la conjetura de Brennan o la conjetura de Carleson y Jones. Debido a la relación existente entre funciones de Bloch y aplicaciones conformes, en la tesis se considera un análogo diádico adecuado del radio espectral de medias, pero en este caso con funciones de Bloch. El hecho de ser diádico viene motivado por el uso de martingalas de Bloch en la completa identificación del que hemos llamado Espectro Bloch-diádico de Medias Integrales. En la demostración se utilizan las conocidas estimaciones subgaussianas para una martingala diàdica. También se contruye explícitamente una maringala diàdica de Bloch que, en cierto sentido, maximiza los saltos.
El tercer capítulo está dedicado a estudiar la clausura de los espacios de Hardy en el espacio de Bloch. El objetivo inicial era describir la clausura de las funciones acotadas en el espacio de Bloch, pero no nos fue posible llegar a una descripción satisfactoria. El resultado que presentamos es una descripción de la clausura de los espacios de Hardy con índice finito en términos del área hiperbólica de ciertos conjuntos. En la prueba, basada en la demostración del teorema de P. Jones sobre la clausura del espacio BMOA en el espacio de Bloch, se utiliza un argumento de dualidad y las estimaciones de Fefferman-Stein que relacionan la función maximal no tangencial y la función de área de Lusin. Finalmente se exponen brevemente nuestros avances en la descripción de la clausura de las funciones analíticas y acotadas en el espacio de Bloch.
