Theta-duality in Abelian varieties and the bicanonical map of irregular varieties

• Autores: Martí Lahoz Vilalta
• Directores de la Tesis: Miguel Ángel Barja Yáñez (dir. tes.) , Juan Carlos Naranjo del Val (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) ( España ) en 2010
• Idioma: inglés
• Tribunal Calificador de la Tesis: Gerald Eryk Welters Dyhdalewicz (presid.) , Pere Pascual Gainza (secret.) , Arnaud Beauville (voc.) , Ciro Ciliberto (voc.) , Giuseppe Pareschi (voc.)
• Texto completo no disponible (Saber más ...)
• Resumen

  • The first goal of this Thesis is to contribute to the study of principally polarized abelian varieties (ppav), especially to the  Schottky and the Torelli problems, Ppav admit a duality theory analogous to that of projective spaces, where the role  played by hyperplanes in projective spaces is played by divisors representing the principal polarization. Thus, given a  subvariety Y of a ppav, we can define its theta­dual T(Y) as the set of divisors representing the principal polarization  that contain this subvariety. This set admits a natural schematic structure (as defined by Pareschi and Popa).

    Jacobian and Prym varieties are classical examples of ppav constructed from curves. Besides, they are interesting  because some properties of the curves involved in their construction are reflected in their geometry or in the geometry  of some special subvarieties. For example, in the case of Jacobians we have the Brill­Noether loci Wd ( W1 corresponds  to the Abel­Jacobi curve) and in the case of Pryms we have the Abel­Prym curve C.  In chapter III, we study the schematic structure of the theta­dual of the Brill­Noether loci Wd  and the Abel­Prym curve.  In the first case, we obtain with different methods, the result of Pareschi and Popa  T(Wd)= Wg­d­1. In the case of the  Abel­Prym curve C, we get that T(C)=V², where V² is the second Prym­Brill­Noether locus with the schematic structure  defined by Welters.

    Pareschi and Popa have proved a result for ppavs analogous to the Castelnuovo Lemma for projective spaces. That is,  if (A,¿) is a ppav of dimension g, then g+2 distinct points in general position with respect to  ¿, but in special position  with respect to 2¿, have to be contained in a curve of minimal degree in A, i.e. an  Abel­Jacobi curve. In particular,  they obtain a Schottky result because A has to be a Jacobian variety and a  Torelli result, because the curve is the  intersection of all the divisors in  |2¿| that contain the g+2 points.  In chapter IV, as Eisenbud and Harris have done in  the projective Castelnuovo Lemma, we extend this result to possibly non­reduced finite schemes.  The second goal of this thesis is the study of varieties of general type. Almost by definition, pluricanonical maps are the  essential tool to study them. One of the main problems in this area is to find geometric or numerical conditions to  guarantee that the m­th pluricanonical map (for low m) induces a birational equivalence with its image.  The classification of surfaces whose bicanonical map is non­birational has attracted considerable interest among  algebraic geometers. In chapter V, we give a sufficient numerical condition for the birationality of the bicanonical map of  irregular varieties of arbitrary dimension.  We also prove that, if X  is a primitive variety, then it only admits very special fibrations to other irregular varieties. For  primitive varieties we get that the following are equivalent:      ­X is birational to a divisor ¿ in an indecomposable ppav,     ­the irregularity q(X) > dim X and the bicanonical map is non­birational.

    When X is a primitive variety of general type and q(X) = dim X we prove, under certain conditions over the Stein  factorization of the Albanese map, that the only possibility for the bicanonical map being non­birational is that X is a  double cover branched along a divisor in |2¿|. These results extend to arbitrary dimension, well­known theorems in the  case of surfaces and curves.