Resumen de Problemas de centro e isocronía. Linealización t-homogénea de campos vectoriales
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El estudio de los sistemas dinámicos (modelos matemáticos que aproxi¬man la evolución a través del tiempo de un sistema observado) comienza dentro del entorno de las ecuaciones diferenciales ordinarias cuya teoría se inicia en el siglo XVII con Newton y Leibnitz, siendo algunos pro¬blemas relacionados con el movimiento de un cuerpo rígido y de Meánica Celeste los que motivaron su desarrollo.
A finales del siglo XIX, surge la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales, desarrollada por Poincaré, la cual dio un impulso a la for-mulación y desarrollo de una teoría de sistemas dinámicos. Esta con¬siste básicamente en estudiar el comportamiento de las soluciones sin el conocimiento explícito de éstas.
En esta memoria, estudiamos varios problemas relacionados con el análisis cualitativo de las ecuaciones diferenciales.
A continuación, describimos la organización y los resultados obtenidos:
En el capítulo 1, abordamos el problema de isocronía de un punto singular de un sistema de ecuaciones diferenciales plano, tanto en el caso de un centro como de un foco. Caracterizamos un foco isócrono débil de orden finito a partir de la forma normal de Poincaré-Dulac del sistema (Theorem 1.2.5). Probamos, en el caso de un foco isócrono, la existencia de un campo vectorial normalizado y de secciones isócronas que parten del origen (Theorem 1.3.10). Caracterizamos un centro isócrono (The¬orem 1.4.18), un foco isócrono (Theorem 1.4.19) y un punto isócrono (Theorem 1.4.22) mediante la existencia de un conmutador del campo vectorial cuya parte lineal puede ser nula. Damos aplicaciones y ejem¬plos.
En los capítulos 2 y 3, estudiamos la existencia de conmutadores de dos clases de sistemas planos polinomiales. El capítulo 2 trata este pro¬blema para los sistemas polinomiales que se conocen como sistemas con infinito degenerado. Mostramos varias propiedades que deben verificar un campo con un conmutador polinomial y damos condiciones para la existencia de tales conmutadores (Theorem 2.2.45). En la sección 2.3, caracterizamos los sistemas con conmutador polinomial de una clase de estos sistemas (Theorem 2.3.47). En sección 2.4 estudiamos los sistemas polinomiales con velocidad angular constante y determinamos los que tienen conmutador polinomial con parte lineal nula (Corollary 2.4.49), y los que tienen parte lineal de la forma (x, y)T (Theorem 2.4.51). Por último analizamos el retrato de fases de los sistemas cuárticos y quínticos con un centro uniformemente isócrono con conmutador polinomial.
En el capítulo 3 abordamos el problema de determinar los sistemas con velocidad angular constante (sistemas rígidos) con conmutador ana¬lítico y en definitiva, los sistemas que tienen un centro. La sección 3.2 contiene el principal resultado del capítulo, Theorem 3.2.54, el cual da unas condiciones que caracterizan los centros de los sistemas rígidos. Mostramos varias aplicaciones.
En el capítulo 4, trabajamos con una familia de sistemas planos nilpotentes. Probamos que esta familia tiene una función de Lyapunov generalizada de clase C°° la cual tiene un desarrollo de la forma W = \y2 + Z)Si ^2q+2si donde W2q+2si son funciones t-homogéneas de grado 2q + 2sl, I > 1 siendo s = (n + l)p - q > 0 (Theorem 4.3.75). En la sección 4.4, damos el desarrollo de Taylor en el origen de la aplicación de Poincaré de estos sistemas (Theorem 4.4.78). Ambos resultados nos permiten resolver teóricamente el problema de centro, determinar la ci-clicidad de un foco y obtener sistemas con ciclos límites que bifurcan del origen. Finalmente, en la sección 4.5, resolvemos el problema de centro para varias subfamilias particulares.
En el capítulo 5 se estudia la integrabilidad de los sistemas planos casi homogéneos y su relación con los exponentes de Kowalevskaya de estos sistemas. Los resultados obtenidos en el capítulo están estrechamente relacionados con la descomposición conservativa-disipativa de un campo vectorial t-homogéneo, Lemma 5.2.92. En la sección 5.2, damos una sen¬cilla caracterización de los sistemas polinomiales t-homogéneos con una integral primera racional (Theorems 5.2.96 y 5.2.98). En la sección 5.3, calculamos los exponentes de Kowalevskaya de los sistemas t-homogéneos y mostramos como obtenerlos en el caso de que el sistema sea racional-mente (polinomialmente) integrable (Theorem 5.3.101). Concluímos este capítulo encontrando los sistemas (1,2)-polinomiales homogéneos de gra¬do dos con una integral primera racional (Theorems 5.4.102 y 5.4.103).
En el capítulo 6, damos condiciones necesarias y suficientes para que un campo vectorial n dimensional tenga la misma estructura orbital que un campo vectorial casihomogéneo, el cual es no lineal, en general. Con¬cretamente, fijado un tipo t N", caracterizamos los campos que son for¬malmente (analíticamente) conjugados (Theorem 6.2.109) y orbitalmente equivalentes (Theorem 6.2.111) a su parte t-homogénea de menor grado, mediante la existencia de un campo vectorial normalizado C°° (analítico). Finalizamos, dando varias aplicaciones de los resultados obtenidos.
- English
We study several problems related to the qualitative analysis of the differential equations. We analyze the isochronicity problem of a singular point of a plane differential equations systems, for the cases of a centre and of a focus. We characterize a weak isochronous focus of finite order from the Poincaré-Dulac normal form and by means of the existence of a commutator of the vector field whose linear part can be null. We give several applications and examples. We study the existence of commutators of two classes of polynomial plane systems: the polynomial systems which are known as degenerated infinity systems and the systems with constant angular speed (rigid systems). We provide several applications. We deal with a family of nilpotent plane systems. We prove that this family has a generalized Lyapunov function and we give the Taylor expansion at the origin of the Poincaré map of these systems. We study the integrability of the plane quasihomogeneous systems and its relation with the Kowalevskaya exponents of these systems. We give necessary and sufficient conditions so that a $n$-dimensional vector field has the same structure as a quasi-homogeneous vector field, which is not lineal, in general. We conclude giving several applications of the obtained results.
