Resumen de The c1 harmonic capacity and the Riesz transform
La tesis consta de tres resultados principales, El primero es la demostración de la semiaditividad de la capacidad C^1 armónica. Ésta puede entenderse como una generalización en R^n de la capacidad analítica definida en el plano complejo. El estudio de la capacidad C^1 armónica tiene aplicaciones directas en el campo de la aproximación uniforme de funciones continuas por funciones armónicas. El segundo resultado consiste en acotar la integral de la derivada normal de una función f sobre la frontera de un dominio Lipschitz en términos de la capacidad C^1 armónica del soporte del Laplaciano de f. Este resultado generaliza un resultado análogo en términos de la capacidad analítica. En ambos casos, no sólo ha sido necesario adaptar aquellas herramientas utilizadas en resultados previos, sinó que además se han tenido que combinar con técnicas más complicadas. El tercer resultado ha sido demostrar que el valor pincipal de las transformadas de Riesz s-dimensionales de una medida con densidad superior positiva y finita, no puede existir si s no es un valor entero. El mismo resultado había sido obtenido con medidas con densidad inferior positiva y finita. Nuevas técnicas han sido utilizadas para demostrar este último resultado de la tesis.
