Resumen de Control de la dinámica por excitaciones temporales. Algunas aplicaciones

Ricardo Chacón García

• Durante las dos últimas décadas el problema del control de los sistemas dinámicos ha sido, y aún continúa siendo, un área de investigación multidisciplinar e interdisciplinaria extraordinariamente activa, Como consecuencia de ello han aparecido numerosos libros que discuten una gran variedad de teorías de control, métodos y perspectivas. Entre las principales razones que explican tal interés se encuentran la naturaleza interdisciplinaria del problema, la promesa implícita de una mejor comprensión de la dinámica, así como la posibilidad de aplicaciones útiles en diversas áreas de investigación como aerodinámica, biología, ingeniería química, epidemiología, sistemas eléctricos de potencia, electrónica, mecánica de fluidos, láseres, fisiología, informática, etcétera. En la actualidad, el tema del control de la dinámica presenta una enorme variedad de métodos y técnicas basados en diferentes perspectivas. En este sentido, algunos de los libros a los que se ha hecho referencia arriba pecan de intentar discutir un gran abanico de métodos al precio de dar explicaciones excesivamente someras de los mismos. Por otra parte, muchos artículos publicados sobre control de la dinámica mediante excitaciones temporales añadidas (como excitaciones externas o paramétricas) basan únicamente sus conclusiones en resultados de simulaciones numéricas. Estas son esencialmente las razones que motivaron al autor para escribir una memoria en forma de monografía que proporcionara una teoría razonablemente rigurosa de una técnica de control específica, pero ciertamente importante, como es la supresión o incremento de caos homoclino/heteroclino mediante excitaciones periódicas débiles en sistemas disipativos, no autónomos y de dimensión pequeña. Por control de caos se entenderá un procedimiento que tanto suprime la dinámica caótica no deseada como aumenta el caos existente o lo hace surgir cuando se considere útil.

  Esta memoria presenta esencialmente dos teorías (una sobre control de caos homoclino/heteroclino mediante excitaciones periódicas débiles y otra sobre fenómenos de resonancia) y una conjetura sobre transporte dirigido por ruptura de simetrías de fuerzas temporales.

  El capítulo 1 proporciona una descripción somera de los principales métodos, técnicas y nociones que se han empleado en la investigación. En partiular:

  i) El método de Melnikov, que es un método perturbativo que permite estimar las condiciones en el espacio de parámetros para que se produzcan bifurcaciones homoclínicas y heteroclínicas. El método de Melnikov es uno de los pocos métodos analíticos para estudiar el inicio del caos homoclínico y heteroclínico. De hecho proporciona condiciones necesarias para tal hecho y, por tanto, a partir de él se pueden deducir condiciones suficientes para que no se produzcan tales bifurcaciones homoclinas y heteroclinas.

  ii) El método de las coordenadas colectivas para caracterizar la dinámica de los solitones topológicos en ecuaciones del tipo seno-Gordon, incluyendo también el caso discreto (modelo de Frenkel-Kontorova). Este método permite obtener ecuaciones efectivas que describen la dinámica del solitón topológico como si fuera una patícula.

  iii) Los exponentes de Lyapunov, que constituyen el procedimiento estándar para cuantificar la propiedad de sensibilidad de la dinámica a las condiciones iniciales y distinguir, por tanto, entre soluciones regulares y caóticas .

  iv) Las funciones elípticas de Jacobi, así como las integrales elípticas, que están relacionadas con la inmensa mayoría de las soluciones periódicas de ecuaciones diferenciales no lineales integrables con alinealidades polinómicas o periódicas (como en el caso del péndulo simple). Después de normalizar sus argumentos, las funciones elípticas de Jacobi constituyen las funciones periódicas más sencillas en las que es posible variar continuamente su forma de onda mediante la variación de un solo parámetro, el parámetro elíptico, mientras sus períodos y amplitudes permanecen constantes.

  El capítulo 2 proporciona una introducción donde se discute el método de control por excitaciones periódicas a partir de la idea general de control de sistemas dinámicos no lineales. También se tratan algunos aspectos importantes del método, como su flexibilidad, robustez, alcance y aplicabilidad experimental. Además, se enfatiza el papel de las excitaciones no armónicas frente a las armónicas en una gran variedad de sistemas dinámicos. En particular, se discute el efecto del cambio en la forma de onda de excitaciones periódicas dadas por funciones elípticas de Jacobi en diversos escenarios:

  i) Rutas orden-caos en osciladores no lineales, amortiguados y forzados, como en el ejemplo de un péndulo sometido a pulsos periódicos dados por la función elíptica de Jacobi cosam.

  ii) Transiciones entre atractores extraños caóticos y atractores extraños no caóticos en modelos de aplicaciones bidimensionales y en osciladores no lineales sometidos a excitaciones cuasi-periódicas.

  iii) Fenómenos de crisis inducidos en aplicaciones bidimensionales sometidas únicamente a cambios en la forma de onda de términos periódicos .

  iv) Modificaciones de la fractalidad de cuencas de atracción en problemas de escape de un pozo de potencial.

  v) Control del transporte dirigido por ruptura de simetrías inducido únicamente por cambios en la forma de onda de las excitaciones periódicas.

  Este último caso conduce a una conjetura sobre la universalidad de ciertas leyes de escala en el transporte dirigido por ruptura de simetrías temporales en sistemas genéricos sujetos a excitaciones biarmónicas.

  El capítulo 3 se inicia con un argumento intuitivo para ilustrar el modo en que las excitaciones periódicas pueden modificar la estabilidad de ciclos-límite perturbados. A continuación se describe la clase de sistemas caóticos, disipativos y no autónomos para los que se desarrolla a continuación la teoría de control de caos homoclino y heteroclino. Se demuestran teoremas y lemas previos relativos a la existencia o no de ceros simples de funciones de Melnikov genéricas. La idea esencial es encontrar condiciones necesarias y suficientes para que tales funciones no presenten tales ceros simples y, por tanto, no se produzcan bifurcaciones homoclinas/heteroclinas. Los casos determinista y con (cierto tipo de) ruido se estudian separadamente por claridad. En el caso con ruido, la función de Melnikov debe sustituirse por un proceso (estocástico) de Melnikov. En este caso, el análisis consiste en encontrar una función de Melnikov efectiva y determinista que acote el proceso de Melnikov y deducir predicciones para tal función de Melnikov efectiva. Los teoremas proporcionan estimaciones analíticas de los intervalos de valores de los parámetros de la excitación de control donde se suprime o aumenta la situación de caos homoclino/heteroclino inicial. En particular, se deriva una expresión general de la anchura del intervalo de valores del desfase inicial entre las dos excitaciones donde se controla la dinámica caótica. También se analiza la aproximación racional al caso de inconmensurabilidad entre las frecuencias de las dos excitaciones implicadas (inductora de caos y de control). Tal aproximación se aplica al caso de la supresión de escape caótico de un pozo de potencial cuando las frecuencias de las dos excitaciones implicadas están en razón áurea. Se discute en detalle el caso especialmente importante, por su efectividad, de la resonancia principal entre las dos excitaciones. Para este caso, se deduce de forma analítica el contorno de la región en el plano de parámetros de la excitación supresora en cuyo interior se suprime la dinámica caótica. A partir de tales resultados se deduce un criterio (criterio del área) para comparar la efectividad supresora de distintos tipos de excitaciones de control como, por ejemplo, excitaciones externas y excitaciones paramétricas. Finalmente, se inicia el estudio del caso de múltiples excitaciones inductoras de caos y de control para el caso de la resonancia principal. En las Notas al final del capítulo 3 puede encontrarse una reseña histórica pormenorizada de la evolución de la teoría de control de caos homoclino/heteroclino por excitaciones periódicas débiles.

  El capítulo 4 se centra en la discusión de los posibles mecanismos subyacentes al control de caos por excitaciones periódicas en modelos matemáticos que describen sistemas físicos generales. Se muestra que el concepto de resonancia geométrica permite caracterizar uno de tales mecanismos en términos del invariante adiabático local asociado con cada solución de resonancia geométrica. La resonancia geométrica es una generalización no lineal de la noción galileana de resonancia basada en la variación local de la constante de movimiento asociada al sistema integrable subyacente. Tal constante de movimiento es típicamente la energía en los modelos matemáticos que describen sistemas físicos genéricos. Aunque la noción de resonancia geométrica fue introducida en el contexto de la supresión de caos por excitaciones periódicas, posteriormente ha tenido otras aplicaciones como, por ejemplo, en la búsqueda de soluciones exactas de ecuaciones de evolución no lineales. En particular, la noción de resonancia geométrica se aplica en esta memoria en diversos contextos:

  i) Control de caos por excitaciones periódicas armónicas en un oscilador de Duffing con un potencial cuártico puro.

  ii) Teorema clásico de Cartwright y Littlewood sobre ciclos límite globalmente estable en el oscilador de van der Pol.

  iii) Control de caos espacio-temporal en ecuaciones seno-Gordon.

  Además de discutir la relación entre resonancia geométrica y resonancia estocástica, se proporciona una teoría unificada de las nociones de resonancia geométrica y autoresonancia, liberando a esta última de la arbitrariedad de la hipótesis adiabática tradicional que arrastra desde hace más de medio siglo. Tal teoría se basa en la noción de energía en el caso de los modelos matemáticos que describen sistemas físicos genéricos, pero puede aplicarse a otras fenomenologías donde las ecuaciones de evolución pertinentes presenten otro tipo de constantes de movimiento asociadas al sistema integrable subyacente. En el caso de la autoresonancia, la nueva teoría se basa en un principio variacional universal que permite obtener simultáneamente las excitaciones exactas de autoresonancia y las soluciones exactas de autoresonancia. La aplicación particular al caso de osciladores del tipo Duffing permite explicar todos los resultados fenomenológicos y aproximados de la teoría adiabática de autoresonancia previa, así como obtener aproximaciones mejoradas y aplicables a circunstancias inaccesibles para la teoría adiabática tradicional.

  El capítulo 5 contiene un estudio detallado (teórico y numérico) de la aplicación de la teoría de control de caos homoclino/heteroclino del capítulo 3 a un problema descrito de manera exacta por una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden: la supresión de caos en una unión Josephson superconductora. También se detalla la aplicación de los resultados del capítulo 3 a problemas físicos cuya dinámica está descrita por ecuaciones de evolución de dimensión alta. Estos problemas son el control de caos extendido en cadenas de osciladores Duffing acoplados, el control de solitones (topológicos) caóticos en cadenas de Frenkel-Kontorova y el control de caos espacio-temporal en ecuaciones seno-Gordon perturbadas. En el caso de las cadenas de osciladores Duffing acoplados se demuestra que la aplicación de las excitaciones de control, con los parámetros predichos por los teoremas de supresión, es efectiva incluso cuando tales excitaciones se aplican sólo a un conjunto discreto y aislado de osciladores de Duffing. Tal efectividad depende de una forma compleja de la constante de acoplamiento. En el caso de los solitones topológicos en cadenas de Frenkel-Kontorova, la regularización de los mismos se observa para los parámetros predichos por los teoremas de supresión y consiste típicamente en que el solitón queda anclado a un péndulo de la cadena. En el caso del caos espacio-temporal en ecuaciones seno-Gordon, se utiliza el ansatz de onda viajera para poder escribir una ecuación diferencial ordinaria asociada a la ecuación en derivadas parciales. Los teoremas de supresión se aplican a tal ecuación diferencial ordinaria y las simulaciones numéricas indican buen acuerdo con las predicciones analíticas.

  La memoria concluye con un breve resumen de algunos problemas abiertos importantes, algunas extensiones recientes y diversas aplicaciones futuras. Entre las extensiones recientes se detalla la aplicación de la teoría de autoresonancia a sistemas con separatrices. En concreto, se aplica al caso del péndulo con disipación lineal, donde se encuentra que la separatriz implica la pérdida de continuidad entre las soluciones autoresonantes oscilantes (dentro del pozo inicial) y rotatorias (cuando se ha producido el escape del pozo inicial). Entre los problemas abiertos cabe destacar la extensión de la teoría de control de caos homoclino/heteroclino a sistemas multidimensionales susceptibles de ser estudiados con extensiones del método de Melnikov (vector de Melnikov), así como la obtención de expresiones analíticas aproximadas para las soluciones regularizadas cuando se aplican las excitaciones de control con los valores supresores adecuados.

  La metodología del trabajo presentado ha considerado técnicas analíticas y simulaciones numéricas. En cuanto a los métodos analíticos, se usaron el método de Melnikov, la teoría hamiltoniana clásica, el análisis de estabilidad lineal, diversos métodos perturbativos (como el de las coordenadas colectivas), ciertos aspectos del análisis estadístico y análisis de simetrías. En cuanto a las simulaciones numéricas, se escribieron programas Fortran para obtener series temporales, diagramas de bifurcación, exponentes de Lyapunov, etc., en base a algoritmos estándar. Otros resultados numéricos se obtuvieron mediante el uso de Mathematica