Resumen de Dimensión de assouad-nagata y la geometría a gran escala de grupos numerables

Jose Manuel Higes Lopez

• La tesis está dividida en cuatro capítulos más los preliminares y la introducción, En los tres primeros se estudia un invariante lineal llamado dimensión de Assouad-Nagata que tiene importantes conexiones con diferentes áreas de las matemáticas tales como la geometría, la teoría de la dimensión topológica, los espacios ultramétricos y la teoría geométrica de grupos. En el último capítulo se analiza completamente la geometría a gran escala de los grupos abelianos numerables.

  Con respecto a la dimensión de Assouad-Nagata se obtienen los siguientes resultados:

  - Se relaciona la dimensión de Assouad-Nagata con la dimensión de capacidad surgida en el estudio de espacios Gromov-hiperbólicos y con la dimensión uniforme.

  - Se prueba la conex ión entre los espacios de dimensión de Assouad-Nagata nula y los espacios ultramétricos. Se construye un espacio universal para los espacios ultramétricos y se prueban teoremas de extensión Lipschitz para tales espacios. Se muestra que existe una can tidad no numerable de espacios ultramétricos no equivalentes a gran escala. .

  - Se caracteriza la dimensión de Assouad-Nagata en términos de extensiones Lipschitz a esferas.

  - Se muestra que la dimensión de Assouad-Nagata acota superiormente la dimen sión topológica de los conos asintóticos de un espacio. Se encuentran ejemplos de que tal cota puede ser estricta y arbitrariamente grande incluso en el caso de que el cono asintótico sea un espacio ultramétrico.

  - Para cada espacio métrico de dimens ión asintótica finita se construye un espacio hiperbólico de dimensión de Assouad-Nagata finita y que satisface una propiedad tipo-ultramétrica de Nagata.

  - Se estudia la dimensión de Assouad-Nagata en el ámbito de la teoría geométrica de grupos. Se analiza la diferencia entre la dimensión de Assouad-Nagata y la dimensión asintótica para diferentes clases de grupos como los nilpotentes y los localmente finitos con métricas propias e invariantes por la izquierda. Se demuestra que tal diferencia p uede ser arbitraria, incluso infinita.

  - Se calcula la dimensión de Assouad-Nagata del grupo discreto de Heisenberg.

  - Se muestra una fórmula para calcular la dimensión de Assouad-Nagata de un espacio tipo-árbol. Como consecuencia se ob tiene una fórmula para calcular la dimensión de Assouad-Nagata del producto libre de dos grupos finitamente generados con la métrica de la palabra.

  En el último capítulo se da un criterio algebraico para clasificar biyectivamente a gran escala los