Resumen de Differential galois theory for some spectral problems
En esta tesis doctoral estudiamos la invariancia del grupo de Galois diferencial de ciertos sistemas integrables con respecto al tiempo, a las transformaciones de Darboux y a valores genéricos del parámetro espectral.
Empezamos analizando la acción de las transformaciones de Darboux matriciales para sistemas diferenciales de Ablowitz-Kaup-Newell-Segur (sistemas AKNS para abreviar), que son un tipo importante de sistemas integrables que dependen de un parámetro, sobre el grupo de Galois diferencial de dichos sistemas. Probamos que el grupo de Galois diferencial del sistema AKNS transformado por una transformación de Darboux es isomorfo a un subgrupo del grupo de Galois diferencial del sistema AKNS inicial. Esto significa que el sistema transformado es al menos tan integrable (en el sentido de Picard-Vessiot) como el sistema inicial.
A continuación nos centramos en la ecuación de Schr\"odinger asociada a la jerarquía de Korteweg de Vries (jerarquía KdV para abreviar). Determinamos la estructura algebraica de las matrices fundamentales de la ecuación de Schr\"odinger con potencial perteneciente a una familia fijada de potenciales racionales KdV. Como consecuencia, obtenemos los grupos de Galois diferenciales asociados a dicho problema espectral. También calculamos ejemplos no triviales en el caso de dimensión 1+1 usando SAGE.
Además, establecemos la profunda relación entre las singularidades de la curva espectral, las transformaciones de Darboux y las matrices fundamentales para la jerarquía KdV.
Luego presentamos una familia de potenciales racionales complejos dependientes de un parámetro. Mostramos que estas funciones son potenciales KdV y calculamos matrices fundamentales para la ecuación de Schr\"odinger correspondiente. También estudiamos los potenciales estacionarios asociados a estos potenciales para tiempo cero. Demostramos que estos potenciales estacionarios son solución de la jerarquía KdV estacionaria.
Finalmente, usamos las tranformaciones de Darboux para estudiar sistemas diferenciales ortogonales desde un punto de vista galoisiano. En esta parte las técnicas de subida a las capas tensoriales de las ecuaciones diferenciales son herramientas esenciales. Usando Maple calculamos fórmulas explícitas para estas transformaciones de Darboux.
