Computacional methods for nonlinear evolution equations with cosine compactions

• Autores: Francisco de Asís Rus Mansilla
• Directores de la Tesis: Francisco Román Villatoro Machuca (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Málaga ( España ) en 2009
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Jesús María Sanz Serna (presid.) , Enrique Soler Castillo (secret.) , Luis Felipe Romero Gómez (voc.) , Víctor Manuel Pérez García (voc.) , Pedro Fernández de Córdoba Castellá (voc.)
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• Resumen

  • El propósito de la tesis es el estudio de métodos numéricos para el análisis de ondas solitarias con soporte compacto, conocidas como compactones, y los correspondientes fenómenos numéricamente inducidos, radiación espuria y colas disipativas, Concretamente, se considera una generalización de la ecuación Korteweg-de Vries que presenta compactones de tipo coseno/seno, introducida por Rosenau y Hyman en 1993. La principal contribución es la determinación de los parámetros de cada ecuación que hacen que la onda solitaria, solución de dicha ecuación, sea un soliton o un compación. Además, se muestra que muchas de las ecuaciones que se han considerado como diferentes en la literatura son en realidad la misma.

    El error numérico obtenido al propagar un único compactón se debe principalmente a la aparición de radiación numéricamente inducida. Se han observado dos paquetes de radiación, uno en el sentido de la propagación del compactón y otro en sentido contrario, con forma autosemejante, velocidad del frente de onda constante y con amplitud máxima decreciente conforme evoluciona el tiempo. Se han caracterizado numéricamente los parámetros de estas radiaciones y se han estimado analíticamente mediante una aproximación de pequeña amplitud basada en una adecuada linealización de la ecuación modificada del método numérico empleado. También se han determinado numéricamente los exponentes de escalado que caracterizan la autosemejanza de ambas radiaciones. Es importante destacar que la característica de autosemejanza que presentan las radiaciones es independiente del método numérico empleado para la discretización en espacio, pero fuertemente dependiente del método usado para la Integración en tiempo.

    Finalmente, se han estudiado las colas que aparecen durante la evolución numérica de los compactones mediante métodos disipativos, como Euler Implícito, o con disipación artificial añadida a un método no disipativo, como la regla del punto medio implícita, usando para este propósito un método de perturbación adiabática basado en los Invariantes de estos compactones. Se han estimado, con muy buen grado de aproximación a los resultados obtenidos numéricamente, las áreas, amplitudes y formas de estas colas. Bajo condiciones de contorno periódicas, el compactón, junto con su cola, reentra en el dominio varias veces, consiguiendo una superposición lineal de las colas, hasta primer orden. Este comportamiento es el que origina la principal fuente de error obtenida al propagar múltiples compactones interactuando mutuamente.