Resumen de Algunos problemas en análisis geométrico asintótico
Se han estudiado algunos problemas abiertos en el Análisis Geométrico Asíntotico, El principal problema tratado es la conjetura del hiperplano y otras cuestiones relacionadas con él. Este problema plantea la siguiente pregunta: "¿Es cierto que todo cuerpo convexo de dimensión n y volumen 1 tiene una sección por un hiperplano de volumen n-1 dimensional mayor que una constante absoluta independiente de la dimensión?" Se han encontrado nuevas familias de cuerpos verificando esta conjetura, entre ellas la familia de politopos con un número de vértices proporcional a la dimensión, o la familia de politopos aleatorios obtenidos como la envolvente convexa de puntos distribuidos uniformemente sobre la superficie esférica.
También se estudiaron estimaciones de volumen de una familia de cuerpos convexos (los p-zonotopos y sus duales), obteniendo una familia de acotaciones mejore que las ya conocidas y relacionando la mejor estimación de esta familia con la transformación que lleva dicho cuerpo a una posición determinada (siendo esta posición la conocida como posición de John en el caso p=infinito).
Finalmente se estudió, motivado por otro problema en Teoría del aprendizaje, la medida Gaussiana de superficie de elipsoides centrados en el origen, obteniendo estimaciones para algunos casos concretos.
