Resumen de Agujeros negros cuánticos, cosmología inflacionaria y la escala de Planck
Iván Agulló Rodenas 
Es comunmente aceptado que el efecto Hawking es una de las claves más importantes que tenemos a día de hoy sobre las propiedades que ha de tener una teoría de gravedad cuántica, Su amplia aceptación y robustez tienen su origen en la analogía termodinámica. Sin embargo, existen puntos débiles en la derivación que podrían platear dudas sobre su validez. En particular, el aparente papel fundamental que tiene la física por encima de la escala de Planck, conocido como problema transplanckiano, pone en tela de juicio la robustez de la derivación. Este problema no es único de agujeros negros y se extiende al resto de efectos de radiación térmica en presencia de horizontes, como el efecto Unruh y el efecto Gibbons-Hawking. Es altamente no trivial eliminar de la derivación la física por encima de la escala de Planck de forma que el espectro térmico se vea inalterado, tal como sugiere la analogía termodinámica. Una simple estimación de la contribución de las altas frecuencias virtuales mediante el formalismo de Bogoliubov, aparentemente muestra que son esenciales para producir el resultado térmico.
En esta Tesis se ha analizado detalladamente este problema, explotando las ventajas que presenta una derivación de los efectos térmicos en términos de funciones de dos puntos. Esta derivación ha permitido deducir de forma simple la radiación Hawking para diferentes campos cuánticos, así como extenderla al análisis del efecto Unruh y Gibbons-Hawking. En lo que al problema transplankiano respecta, esta formulación permite formular el problema de manera invariante y mediante cantidades que involucran al observador que mide la radiación. Esto permite introducir un cut-off (en distancias) excluyendo la física transplanckiana para este observador. Los resultados indican que el espectro Hawking se ve inalterado para frecuencias menores que unas 100 veces la frecuencia típica de emisión, lo cual pone de manifiesto su robustez. Este estudio puede ser extendido al caso del efecto Unruh, el cual se muestra más insensible incluso a la física transplanckiana que el propio efecto Hawking, debido a la naturaleza particular del problema.
Para reforzar estas conclusiones es posible analizar el problema modificando las funciones de correlación a la escala de Planck de manera explícita. Las deformaciones propuestas aquí siguen la filosofíia expuesta por Magueijo Y Smolin, donde las relaciones de dispersión son modificadas a la escala de Planck manteniendo la invariancia Lorentz. En nuestro caso, las funciones de correlación han sido modificadas respetando las simetrías de los problemas originales: simetría Lorentz en el efecto Unruh, de Sitter $SO(4,1)$ en el efecto Gibbons-Hawking, y simetría conforme dos dimensional en el efecto Hawking. El anális realizado en esta Tesis demuestra que las simetrías juegan un papel fundamental en la robustez del resultado térmico para los tres efectos.
Las técnicas y resultados obtenidos en el contexto de radiación térmica por horizontes pueden ser particularmente útiles en el análisis de otro efecto íntimamente relacionado. La amplificación de las fluctuaciones del vacío por la expansión inflaccionaria del universo primordial, responsable del espectro de inhomogeneidades del fondo cósmico de microondas, tiene un origen estrechamente ligado al efecto Gibbons-Hawking. En esta Tesis se han revisado las predicciones para el espectro de inhomogeneidades en el contexto de la teoría cuántica de campos en espacios curvos. El estudio se ha centrado en aquellas cantidades fundamentales, como la variancia de las fluctuaciones gaussianas del inflatón, que sufren de las divergencias típicas en teoría de campos cuando aparecen valores esperados de operadores cuadráticos. Estas divergencias pueden ser eliminadas empleando métodos de renormalización bien establecidos, como es el método de renormalización adiabática. Sin embargo, tal y como se muestra en la Tesis, la eliminación de las divergencias tiene efectos en las predicciones de las magnitudes observables que realiza inflación. En particular, las predicciones de inflación en el contexto de ``slow-roll'' para el `Espectro de Potencias' escalar y tensorial, se ven modificadas. Esto lleva a una modificación en la condición de consistencia que relaciona el cociente entre las amplitudes escalar-tensor, $r$, con los índices espectrales. Adicionalmente, las predicciones para los modelos más simples de inflación (con los potenciales caóticos $\phi^2$, $\phi^4$) muestran que, cuando los efectos de renormalización se tiene en cuenta, ambos potenciales caen dentro de la región de $68\%$ de nivel de confianza en el plano $(n_s,r)$ de los resultados experimentales de WMAP-5 años. Por contra, las predicciones estándar descartan el potencial $\phi^4$. Las predicciones realizadas en esta Tesis estarán dentro del rango experimental de la próxima misión PLANCK.
Otro de los temas estudiados en este trabajo está relacionado con otro aspecto fundamental en la termodinámica de agujeros negros: su entropía. En esta Tesis se ha analizado de forma minuciosa el problema del cálculo de la entropía de un agujero negro de Schwarzschild en el contexto de Loop Quantum Gravity (LQG).
El estudio detallado de los ingredientes del problema que da lugar al cálculo de la entropía, ha permitido entender de forma cualitativa el origen de la estructura en bandas que aparece en el espectro de degeneración. Aún más, la imagen propuesta produce expresiones analíticas que dan cuenta del valor exacto del área al que tiene lugar cada pico de degeneración, proporcionando por tanto información cuantitativa precisa sobre las principales características del fenómeno observado, como es el valor del periodo de la estructura en bandas.
También hemos realizado un estudio pormenorizado del problema combinatorio del cálculo del número de microestados accesibles de un agujero negro de área fijada. Empleando técnicas provenientes de teoría de números y combinatoria discreta, hemos resuelto exactamente dicho problema. Esto ha permitido dar una caracterización de la parte relevante del espectro de áreas de LQG, así como calcular explícitamente todos los microestados cuánticos compatibles con una configuración macroscópica de agujero negro dada, caracterizada por el área.
Adicionalmente, los métodos presentados pueden ser eficientemente implementados en un computador para confirmar y extender los resultados previos sobre la estructura detallada del espectro de degeneración.
Estos métodos son de gran utilidad para atacar el problema del comportamiento de la entropía en el límite de grandes áreas, de forma que se evite cualquier aproximación que pueda esconder parte de la riqueza del problema. En particular, hemos visto cómo es posible obtener funciones generatrices que codifiquen la solución al problema combinatorio en los coeficientes de desarrollos en serie.
Estas funciones permiten obtener fórmulas cerradas para la degeneración, las cuales son particularmente interesantes para abordar el estudio del límite asintótico.
En la última parte de la Tesis se ha demostrado como, cuando se trata de forma adecuada la simetría gauge de la teoría, es posible poner en correspondencia los grados de libertad del horizonte con grados de libertad de una teoría conforme. Hemos demostrado como la analogía propuesta por Witten entre teorías covariantes generales y teorías conformes, se puede implementar de forma precisa en este contexto. Mediante una rotura de simetría análoga a la que se impone en el caso clásico, la entropía de un agujero negro puede calcularse a través del número de bloques conformes de una teoría de Wess-Zumino-Witten. Este resultado constituye un primer paso hacía la definición cuántica de horizonte aislado. Adicionalmente abre tambi\'en la puerta a la relación entre la entropía de agujeros negros en LQG y las teorías conformes, la cual es de especial relevancia tanto por la potencia de cálculo que presenta como por la relación con otros marcos teóricos.
