Resumen de Casi convergencia en espacios de Banach
Marina Nicasio Llach
Aunque la convergencia estadística o casi convergencia se introdujo hace poco más de medio siglo, ha sido en los últimos años cuando se ha convertido en área de gran actividad productiva, aplicándose a campos tales como la Teoría de números, Teoría de la medida, series trigonométricas, Teoría de la sumabilidad, espacios localmente convexos, Teoría turnpike de economía, espacios de Banach, etc, La idea se debe a Zygmund (1935), si bien fue formalizada posteriormente por Steinhaus (1949) y por Fast (1951).
La convergencia estadística es una generalización del concepto usual de convergencia con el cual se establece un paralelismo en el caso de sucesiones reales. Se prueba que éste no es el caso de las sucesiones débilmente estadísticamente convergentes en espacios de Banach.
En nuestro trabajo, hemos obtenido, a través de la convergencia estadística, caracterizaciones de las series débilmente incondicionalmente de Cauchy. La caracterización de estas series es de gran importancia puesto que sirven para caracterizar, a su vez, ciertas propiedades topológicas de los espacios normados. En nuestro caso, obtendremos caracterizaciones sobre la completitud de un espacio normado. También se definen nuevos espacios de sucesiones, lo que abre un interesante campo de trabajo, para obtener posteriormente una versión estadística del teorema de Bessaga-Pelczynski, y probamos que sólo los espacios de Banach de dimensión finita satisfacen la propiedad estadística de Schur. Se deduce como consecuencia que existe una serie de sumas parciales acotadas que es débilmente estadísticamente convergente pero no es estadísticamente convergente.
Se introducen también los conceptos de convergencia estadística fuerte, convergencia estadística uniforme y convergencia estadística fuerte y uniforme en matrices, generalizando algunos resultados de la convergencia uniforme en matrices al caso de la convergencia estadística. Cabe señalar como punto importante la demostración del Teorema Básico Matricial para el caso de la convergencia estadística.
Con posterioridad definimos y estudiamos algunos espacios de sucesiones vectoriales definidos a través de la convergencia estadística, en un espacio X y en su dual X^*. Relacionamos estos espacios con algunas propiedades clásicas de los espacios normados, como son la propiedad de Schur, la de Grothendieck, Kadets-Klee y Dunford-Pettis. Demostramos un resultado matricial relacionado con la convergencia estadística que permite obtener una condición suficiente para que una sucesión de cierto espacio de sucesiones vectoriales sea estadísticamente de Cauchy.
Demostramos una versión del Teorema de Orlicz-Pettis con el modelo de convergencia estadística, para lo cual, probamos previamente un teorema de convergencia uniforme en matrices.
Relacionamos también la convergencia estadística y la convergencia Cèsaro, caracterizando a las series débilmente incondicionalmente de Cauchy y a las series incondicionalmente convergentes. Finalmente, probamos una nueva versión del teorema de Orlicz-Pettis utilizando la convergencia Cèsaro-estadística.
