Resumen de Espaciabilidad, lineabilidad y operadores hipercíclicos
Los conceptos de lineabilidad, espaciabilidad y algebrabilidad son novedosos y están rápidamente atrayendo la atención de diferentes grupos de investigación en matemáticas en Europa y en los EEUU, El tema de la hiperciclicidad lleva siendo estudiado en profundidad desde los últimos quince años. La tesis se compone de cuatro capítulos.
El principal objetivo de los capítulos 1 y 2 es el hecho de que algunos fenómenos que, aparentemente, son poco comunes, ocurren más de los que podríamos pensar, en el sentido de que existen espacios vectoriales de dimensión infinita de funciones (sucesiones) verificando propiedades que podríamos llamar patológicas, tales como ser sobreyectivo en todas partes o no ser monótono en ningún punto y diferenciable en todo punto. Por lo que algunas de estas propiedades ocurren de forma lineal, en forma de espacios vectoriales, espacios vectoriales cerrados, espacios de Banach, o álgebras infinitamente generadas, lo cual no deja de ser muy sorprendente.
Los capítulos 3 y 4 tratan sobre teoría de aproximación, en particular sobre hiperciclicidad y el caos en espacios de Banach. Lo innovador del tema es la forma de abordar algunos problemas clásicos dentro de esta toría. Las conclusiones obtenidas en los capítulos 3 y 4 dejan claro que es posible construir subespacios vectoriales hipercíclicos (y densos) sin necesidad de hacer uso alguno del teorema de la categoría de Baire o técnicas de existencia, que es la herramiento clásica y más común siempre utilizada. Algunos elementos pueden construirse explicitamente, como se demuestra en dichos capítulos.
Las técnicas desarrolladas representan un punto de vista completamente nuevo, y una nueva forma de abordar este tipo de problema del área de hiperciclicidad y caos, materia estudiada en profundidad en los últimos quince años. El capítulo 4 también trat sobre formas de construir vectores cíclicos e hipercíclicos para determinadas familias de operadores en espacios de Banach separables. Condiciones necesarias de caos son dadas, y utilizadas mas adelante para probar resultados relativos a la caoticidad de ciertos operadores en espacios de Banach.
En resumen la tesis aporta nuevas técnicas para abordar problemas clásicos de análisis real y complejo, análisis funcional y teoría de operadores, así como nuevos resultados en la materia estudiada, da una nueva perspectivas constructiva a resultados ya conocidos.
