Resumen de A new approach to multivariate lifetime distributions based on the excess-wealth concept: an application in tumor growth
- español
Las distribuciones de visa son de gran importancia en la teoría de modelización estocástica, teoría de la renovación, fiabilidad y análisis de supervivencia. El envejecimiento de un sistema físico o biológico se conoce como el fenóm ... eno por el cual un sistema más antiguo tiene un menor tiempo de vida, en algún sentido estocástico, que un sistema más nuevo. Muchos de los criterios de envejecimiento (por ejemplo, las nociones IFR, DMRL y NBUE) se han desarrollado en la literatura durante muchos años y han sido también propuestas y estudiadas. Cabe mencionar que muchos de estos métodos se incluyen en el marco del ordenamiento estocástico.Esta Tesis Doctoral está centrada fundamentalmente en dos objetivos: Estudiar nuevas nociones de envejecimiento multivariante y caracterizar dichas nociones por medio de una función de dispersión multivariante, generalizando así los resultados ya estudiados en el caso univariante por Fernández-once et al. (1996) and Fernández-Ponce et al. (1998). Para el estudio de estos objetivos, dos conceptos fundamentales son tomados como punto de partida, también conocido como construcción estándar, fue definido por primera vez por O´brien (1975), y ha sido ampliamente utilizado en teoría de simulación así como en la teoría de ordenaciones estocásticas. El segundo concepto fue dado por Fernández-Ponce y el Suárez-Lloréns (2003). Estos autores proporcionaron el concepto de cuadrante superior corregido asociado con la construcción estándar y obtuvieron el importante resultado de que la probabilidad acumulada en esta región no depende de la distribución considerada. Estos conceptos, junto con el trabajo de Fernández-Ponce et al. (1998), donde las nociones de envejecimiento univariante son caracterizan por la función de exceso de riqueza (excess-wealth), es la base para el desarrollo de esta investigación. Obviamente, numerosos resultados significativos en fiabilidad y en el área de ordenaciones estocásticas son considerados con el fin de alcanzar nuestro propósito.Este trabajo está estructurado en cuatro capítulos. El Capítulo 1 es introductorio y presenta el estado del arte en las nociones de envejecimiento univariante y multivariado. En particular, se resumen diferentes trabajos donde propiedades de envejecimiento son caracterizadas usando ordenaciones estocásticas. La función cuantil y sus generalizaciones multivariante, así como la función "excess-wealth" univariante son también estudiadas en este capítulo.El Capítulo 2 tiene por objeto dar un concepto multivariante de la función "excess-wealth" basada conjuntamente en el trabajo por Fernández-Ponce et al. (1998) y Fernández-Ponce y el Suárez-Lloréns (20039. Se inicia mediante la introducción de nociones preliminares que serán utilizados a lo largo de la memoria. A continuación, y dada la importancia en este trabajo del cuadrante corregido superior, centramos nuestra atención en proporcionar nuevos resultados sobre este concepto. Las relaciones entre el cuadrante superior corregido con el soporte de un vector aleatorio y el cuadrante superior derecho en un punto, son establecidas. Por último, en las dos últimas secciones del capítulo, la función "excess-wealth" multivariante y el orden "excess-wealth" multivariante son estudiados. Esta función es definida en términos del cuadrante superior corregido y se demuestra que conserva las mismas propiedades que verifica la versión univariante.En el Capítulo 3, son definidas nuevas propiedades de envejecimiento multivariante. A partir de nuevas generalizaciones de la función vida residual media y la función intensidad de fallo, se presentan versiones multivariante de las nociones IFR, DMRL y NBUE, junto con la cadena de implicaciones entre ellas. Siguiendo el desarrollo en Fernández-Ponce et al. (1998), estas nuevas propiedades son caracterizadas en términos de la función "excess-wealth" multivariante. Por último, y basados en estas nociones multivariado de envejecimiento, se definen nuevas ordenaciones estocásticas que permiten comparar el envejecimiento de dos vectores aleatorios. Finalmente, en el Capítulo 4, una aplicación de una propiedad del envejecimiento bivariante es estudiada en el campo de la oncología. La edad de los pacientes y el tamaño del tumor en la detección espontánea del tumor, desempeñan un papel importante en la prevención de la cáncer. Como bien es conocido, existe un creciente interés en la detección temprana de enfermedades crónicas, con la esperanza de que el diagnóstico precoz, combinado con la terapia adecuad, da lugar a un mayor número de curas caso como mayor supervivencia de los pacientes. El proceso de desarrollo del tumor puede ser explicado en términos de edad de los pacientes al inicio del tumor (tiempo desde el nacimiento del paciente hasta que la célula primera célula cancerígena aparece) y el tiempo de estancia en la etapa preclínica, (tiempo desde que la primera célula cancerígena aparece hasta que el tumor es detectado). Un modelo exponencial no determinista que relaciona el tiempo de estancia en la etapa preclínica con el tamaño del tumor en el momento de la detección es planteado y estudiado en este capítulo. En el proceso de estimar los parámetros de este modelo, es considerada una restricción que representa una propiedad inherente de envejecimiento multivariante de las distribuciones de vida consideradas. El modelo propuesto es ilustrado en dos bases de datos reales.
- English
Lifetime distributions are of great importance in the theory of stochastic modelling, renewal theory, reliability and survival analysis. As was pointed out by Kochar and Wiens (1987), the ageing of a physical or biological system is known as the phenomenon by which an older system has a shorter remaining lifetime, in some stochastic sense, than a newer one. Many criteria of ageing (e.g. IFR, DMRL and NBUE notions) have been developed in the literature over many years and have been characterized by diferent methods. Analogous multivariate versions have also been suggested and studied. It is worth mentioning that many of these methods are included within the framework of stochastic ordering.
This work fundamentally deals with two problems: the problem of studying new multivariate ageing notions and the problem of characterizing them by means of a multivariate dispersion function. Two concepts are taken as a starting point: the multivariate quantiles and the upper-corrected orthant. The first concept, also known as standard construction, was introduced for the first time by O'Brien (1975) and it has been widely used in simulation theory as well as in multivariate stochastic orderings. The second concept was given by Fernáandez-Ponce and Suarez-Llorens (2003). They provided the notion of the upper-corrected orthant associated with the standard con- struction and obtained the important result that the cumulated probability in this region does not depend on the distribution. These concepts, together with the work by Fernández-Ponce et al. (1998), where the univariate ageing notions are characterized through the excess-wealth function, gave the basis for the development of this research. Obviously, numerous significant results in the reliability and stochastic order areas are considered, in order to achieve our proposals.
This work is structured in four chapters. Chapter 1 is introductory and presents the state-of-the-art in univariate and multivariate ageing notions. In particular, some works in which stochastic comparisons are used to characterize these notions are summarized. Quantiles and their generalizations, as well as the univariate excess-wealth function are also considered in this chapter 1. Chapter 2 aims to give a multivariate excess-wealth concept, based jointly on the work by Fernandez-Ponce et al.(1998) and Fernandez-Ponce and Suárez-Llorens (2003). It starts by introducing notions and preliminaries which will be used through the work. Then, given the importance of the upper-corrected orthant in this research, attention is focused on providing new results about this concept. The relationships between the support of a random vector, the upper-corrected orthant and the right-upper orthant at a point, are established. Finally, in the last two sections, the multivariate excess-wealth function and the multivariate excess-wealth order are studied. This function is defined in terms of the upper-corrected orthant and it is shown that it preserves the same properties which are veri ed by the univariate version. The definitions of new multivariate ageing properties are the topic of Chapter 3. From new generalizations of the hazard rate and mean residual life func- tions, multivariate versions of the IFR, DMRL and NBUE ageing notions are presented, together with the chain of implications between them. Following the development in Fernandez-Ponce et al. (1998), characterizations of this new property are given in terms of the multivariate excess-wealth function. Finally, these multivariate notions allow the definition of a new ordering to compare the ageing of two random vectors. Finally, in Chapter 4, an application of a particular multivariate lifetime distribution is considered in oncology. Patient age and tumor size at spon- taneous detection of the tumor, play an important role in the prevention of cancer. There is increasing interest in the early detection of chronic diseases, with the expectation that earlier diagnosis, combined with therapy, result in more cures and longer survivals. The process of tumor development can be explained in terms of patient age at the onset of the tumor (time from the patient is born until the first tumor cell appears) and the sojourn time time from the first tumor cell appearing until the detection of the tumor). A non-deterministic exponential model that relates the sojourn time to the tumor size at spontaneous detection is suggested and studied in this chapter. In the process of estimating the parameters in this model, a constraint is used which represents an inherent multivariate ageing property of the life- time distributions considered. The proposed model is illustrated using two real databases.
