Resumen de Análisis de la incertidumbre en problemas inversos geofísicos no lineales de alta dimensión
José Luis García Pallero
En esta Tesis Doctoral se aborda el análisis de incertidumbre de la solución en problemas geofísicos lineales y no lineales en espacios altamente dimensionales. En una primera parte teórica se justifica el análisis de incertidumbre desde un punto de vista determinista mediante técnicas provenientes del álgebra lineal y de la teoría de optimización. En particular, en el caso de los problemas inversos lineales se demuestra que el condicionamiento del sistema lineal está relacionado con la excentricidad de la región de equivalencia. En el caso de los problemas inversos no lineales se justifica por qué las técnicas de linealización sólo proporcionan un análisis de incertidumbre en el entorno de la solución adoptada, pudiendo conducir a soluciones erróneas en el caso de que la información a priori utilizada sea incorrecta.
Se realiza un análisis teórico exhaustivo del efecto del ruido y de la regularización de Tikhonov en la topografía de la función objetivo en los casos de los problemas inversos lineales y no lineales, mostrando analíticamente que en ambos se ve deformada dicha topografía. El ruido la deforma de un modo homogéneo en el caso de los problemas lineales y no homogéneo en los problemas inversos no lineales. En el caso de la regularización de Tikhonov la deformación es anisotrópica, actuando de forma diferente en cada componente del modelo solución.
En segundo lugar, se ha desarrollado un método de inversión en 2D y 3D para la resolución (estimación del mejor modelo y su análisis de incertidumbre) del problema gravimétrico inverso en cuencas sedimentarias, en su formulación no lineal para la determinación de la interfase de separación sedimentos-basamento, basado en el algoritmo Particle Swarm Optimization. Se han obtenido muy buenos resultados con ejemplos sintéticos y reales, tanto en la estimación del modelo de mejor ajuste como en el análisis de su incertidumbre, lo que convierte al algoritmo PSO en una alternativa seria para la resolución de este tipo de problemas.
***************************************************************************************************************************** This PhD Thesis tackles the uncertainty analysis of the solution of linear and nonlinear geophysical inverse problems in high-dimensional spaces. In a first theoretical part, the uncertainty analysis from a deterministic and from the optimization theory point of view is justified. Particularly, it is demonstrated that in linear inverse problems, the linear system conditioning is related to the equivalence region eccentricity. In the case of nonlinear inverse problems, the reason why the linearization techniques only provide a local uncertainty analysis, and can lead to wrong solutions if the a priori information used is not correct, is demonstrated.
An exhaustive theoretical analysis of the effects of noise and Tikhonov regularization in the objective function topography for linear an nonlinear inverse problems is developed, analytically showing that both effects deform the aforementioned topography. Noise deforms it in a homogeneous way in the case of linear inverse problems, while the deformation is non-homogeneous for nonlinear problems. In the case of Tikhonov regularization, the deformation is anisotropic, affecting each component of the solution model in a different way.
Secondly, a method for 2D and 3D nonlinear gravity inversion in sedimentary basins (in the nonlinear form for determination of the interface sediments-basement) has been developed, comprising the best model estimation and its uncertainty analysis and based on the Particle Swarm Optimization algorithm. Very good results have been obtained, both with synthetic and real examples, regarding the best model estimation and its uncertainty analysis, which makes the PSO algorithm a serious alternative for the solution of this kind of problems.
