Resumen de Semi-structured multigrid methods on voronoi meshes to the resolution of the darcy-oberbeck-boussinesq model

Pablo Salinas Cortes

• La mayoría de los problemas en física e ingeniería se modelan mediante ecuaciones en derivadas parciales. Como mayores exponentes de este hecho tenemos las ecuaciones de Maxwell, el problema elástico o las ecuaciones de Navier- Stokes.

  La resolucíon de las ecuaciones en derivadas parciales se basa en el uso de métodos numéricos que están basados en un proceso de discretización. Lo cual, conduce al planteamiento de un sistema de ecuaciones algebraicas cuya resoluci ón puede llegar a ser muy costosa. Por tanto, desarrollar métodos eficientes repercute en la posibilidad de realizar más ensayos con un menor costo de recursos.

  Hay dos grandes grupos de resolución de estos sistemas de ecuaciones, uno serian los métodos basados en el método del gradiente conjugado, y el otro los métodos multimalla. Es importante remarcar, que los métodos multimalla se pueden usar como precondicionadores de los métodos de gradiente conjugado.

  Esta tesis, se va a centrar en los métodos multimalla.

  Los métodos multimalla, son conocidos por ser muy rápidos resolviendo problemas de tipo parabólico y elíptico. Dentro de los métodos multimalla, nos encontramos dos familias. Los métodos geométricos son especialmente rápidos y tienen un bajo consumo de memoria, pero tienen la limitación de que el dominio debe ser regular y la malla estructurada, lo que limita su aplicación. Por otra parte, tenemos los métodos algebraicos, los cuales son mas lentos y requieren más memoria pero se pueden aplicar a dominios de cualquier complejidad.

  Una alternativa que pretende obtener lo mejor de ambos métodos es el uso de métodos geométricos en mallas semi-estructuradas. Estos consisten en crear una malla inicial no estructurada que se adapte a la geometría del dominio para posteriormente, refinar regularmente esta malla inicial hasta alcanzar la precisión deseada. De esta manera, obtenemos una malla que se adapta al dominio, y dentro de esta malla, dominios estructurados donde podemos aplicar métodos multimalla geométricos. Se han realizado estudios con mallas rectangulares y con triangulares, estas ultimas con nodos en los vértices.

  Generalmente, las mallas utilizadas para triangular un dominio son las mallas de Delaunay porque se construyen muy rápidamente y además, tienden a dar una triangulación con pocos triángulos puntiagudos y muchos triángulos acutángulos. La malla dual de Delaunay es conocida como malla de Voronoi.

  La línea que une los vértices de Voronoi es perpendicular a la triangulación de Delaunay. Por tanto, su uso para discretizar ecuaciones en derivadas parciales es muy interesante, ya que para discretizar las derivadas en la dirección normal basta con un cociente de diferencias. Utilizaremos triángulos acutángulos, por lo que el punto de Voronoi siempre estará dentro del triángulo. Pero su posición cambia en función de la forma del triángulo, lo cual, puede dar lugar a grandes anisotropías debidas al mallado y no al problema.

  Uno de los componentes más importantes de los métodos multimalla es el suavizador. El estudio de suavizadores para mallas centradas en celdas es escaso y nulo para mallas semi-estructuradas. Por tanto, el estudio de nuevos suavizadores es uno de nuestros objetivos. Para ello, deberemos estudiar la complejidad del problema y diseñar nuevos suavizadores que sean capaces de tratar con esta anisotropía inducida por la malla.

  A la vez que desarrollamos el método multimalla genérico, nos centraremos en la resolución del modelo Darcy-Oberbeck-Boussinesq. Este modelo tiene a su vez un sistema de ecuaciones de tipo mixto con incógnitas de presión y de velocidad. Por tanto, deberemos extender lo estudiado para resolver este sistema. Localizaremos las proyecciones de la velocidad en los lados de los triángulos. En este punto tenemos dos opciones, el uso de suavizadores de tipo Vanka, dentro del cual deberemos resolver cada vez un sistema de ecuaciones de tipo punto silla, o de tipo distributivo. Como no podemos saber de antemano cual sería mas eficiente, deberemos analizar ambos.

  El modelo Darcy-Oberbeck-Boussinesq, es un modelo que se utiliza para calcular el comportamiento de flujos en medios porosos saturados, los cuales son movidos por diferencias de densidad dentro del fluido. Este modelo puede ser utilizado en el problema de almacenaje de CO2 en acuíferos salinos. Notemos que la velocidad y la concentración están acopladas, haciendo que el problema sea altamente no lineal. De hecho, al poco tiempo del comienzo del proceso se crean inestabilidades difícilmente modelizables que exigen pasos de tiempo muy pequeños.