Resumen de Volume preserving curvature flows in rotationally symmetric spaces
En la tesis titulada "Volume Preserving Curvature Flows in Rotationally Symmetric Spaces" se exporta por primera vez a un espacio no llano (en concreto, al espacio hiperbólico) un resultado probado por G, Huisken en 1987, según el cual bajo el flujo por la curvatura media preservando volúmenes (VPMCF), las hipersuperficies convexas en el espacio Euclídeo se mantienen convexas durante toda la evolución, la cual existe para todo tiempo positivo y la solución converge exponencialmente a una espera redonda. Con más precisión, en el citado trabajo demostramos Teorema 1. Sea un espacio hiperbólico M_L (n + 1)-dimensional, completo, simplemente conexo y de curvatura seccional constante negativa L menor que 0. Si M0 es una hipersuperficie compacta y convexa por horosferas (h-convexa), entonces VPMCF con condición inicial M0 tiene una solución única Mt tal que (i) está definida para todo tiempo, (ii) las hipersuperficies M_t permanecen diferenciables y h-convexas para todo tiempo (iii) la solución converge exponencialmente (cuando t se acerca a infinito, en la topología Cm, para cualquier m natural fijo) a una esfera geodésica de M_L incluyendo el mismo volumen que M_0.
Además, gracias a la comprensión y adaptación (al ambiente hiperbólico) de la teoría de regularidad maximal, en la tesis se extienden las afirmaciones (i) y (iii) del Teorema 1 a ciertos datos iniciales no necesariamente h-convexos. En concreto, como subproducto de la demostración de (iii), probamos el siguiente resultado:
Teorema 2. Sea S una esfera geodésica de M_L(n+1) y 0 menor que b menor que 1. Existe mayor que 0 tal que, para cualquier embebimiento X: M -- mayor que M_L(n+1) con h(1+b)-distancia a S menor que , el VPMCF tiene una única solución cumpliendo X_0 = X, definida para todo tiempo y que converge exponencialmente a una esfera geodésica en M_L(n+1), h(1+b)-próxima a S e incluyendo el mismo volumen que X(M).
Por otra parte, en esta tesis se export
