Resumen de P-continuous vector-valued functions

Fernando Muñoz Jiménez

• español

  Esta tesis se centra en el estudio de funciones vectoriales p-contlnuas, Son funciones definidas en un espacio de Hausdorff compacto con valores en un espacio de Banach cuyo rango es p-compacto (1 < p < oo). Un subconjunto K de un espacio de Banach X es relativamente p-compacto si existe una sucesión (xn)e/p(X) ((xn) e Co(X) si p = oo) tai que K c {£n ct^Xn : |an[p' < 1}, donde p1 es el índice conjugado de p (i.e,, 1/p + 1/p' - 1, con l/oo = 0). Desde este punto de vista, la noción de compacidad puede ser vista como el caso particular de oo-compacidad. Ei conjunto de todas estas funciones se denota por Cp(fi,X), donde n es un espacio de Hausdorff compacto y X es un espacio de Banach.

  La tesis ha sido organizada como sigue.

  En el Capítulo 1, presentamos el espacio de las funciones p-continuas con valores en X, CP(Q,X), y probamos que es isomètricamente isomorfo a 0(0)®^, donde dp es la norma tensorial de Chevet-Saphar a derecha. También introducimos el espacio de las funciones vectoriales incondicionalmente p-continuas de un modo naturai y lo caracterizamos también mediante un producto tensorial. Los productos tensoriales juegan un papel importante en este capítulo. Ambas caracterizaciones se basan, entre otros, en un importante resultado sobre operadores a- nucleares, que demostramos. Este capítulo se basa en [57].

  El Capítulo 2 recoge algunas propiedades topológicas de Cp(D,X). A saber, obtenemos resultados relativos a la densidad de funciones vectoriales simples en B(£)®dpX (donde B(£) denota el espacio de tas funciones escalares medibies Borei definidas en n), inclusiones complementadas de C(o) y X en Cp(n,X), y sucesiones en Cp(n,X). En este capítulo también estudiamos las convergencias débil y débil* de sucesiones en CP(Q,X).

  Ei Capítulo 3 se centra en un resultado clásico dei Análisis: la representación integral de operadores definidos sobre funciones continuas. En particular, establecemos dos teoremas de representación integral: uno para operadores S e L(C(ü),L(X,Y)) (que extiende el teorema clásico de representación de Bartie-Dunford-Schwartz), y otro para operadores U e L(Cp(íi,X),Y) (que extiende el teorema clásico de representación de Dinculeanu- Singer). Nosotros proporcionamos una demostración alternativa más simple de este último resultado usando el primero. También construimos la teoría de integración necesaria. Este capítulo se basa en [59].

  Ei Capítulo 4 trata del operador asociado U# definido en el Capítulo 3. Todo operador U e L(Z®aX,Y) tiene un operador asociado U# e L(Z,L(X,Y)) definido de un modo natural. En este capítulo, estudiamos el problema de la existencia de un operador U e L(Z®aX,Y) tal que U# = S para un operador S e L(Z,L(X,Y)) dado, resolviendo una antigua conjetura de Dinculeanu. Este capítulo se basa en [58].

  Ei Capítulo 5 está dedicado al estudio de los operadores absolutamente (r,q)-sumantés de Cp(Q,X) en Y. Estudiamos ia relación entre U, su operador asociado U#, y su medida representante (construida en el Capítulo 3). Ya que Cco(0,X) = C(D,X), esto engloba no sólo el teorema clásico de Swart sobre operadores absolutamente sumantes de C(fì,X) en Y sino también las extensiones que existen, proporcionando una mejora incluso al teorema clásico de Swartz. Se muestran varios contraejemplos para indicar la precisión de nuestros resultados. Este capítulo se basa en [60].

• English

  This thesis focuses on the study of p-continuous vector-valued functions. They are functions defined on a compact Hausdorff space with values in a Banach space whose range is p-compact (1 < p < oo). A subset K of a Banach space X is relatively p-compact if there exists a sequence (xn)£/p(X) ((Xn) e co(X) if p = oo) such that K c {Xn «nXn : £n [cxn|p' < 1}, where p' is the conjugate index of p (i.e., 1/p + 1/p' = 1, with l/oo = 0). From this point of view, the notion of compactness can be seen as the particular case of oo-compactness. The set of all these functions is denoted by CP(Q,X), where n is a compact Hausdorff space and X is a Banach space.

  The thesis has been organized as follows.

  In Chapter 1, we present the space of p-continuous X-valued functions, Cp(n,X), and we prove that it is isometricaliy isomorphic to C(Q)®dpX, where dp is the right Chevet-Saphar tensor norm. We also introduce the space of unconditionally p-continuous vector-valued functions in a natural way and we characterize it by a tensor product too. Tensor products play an important role in this chapter. Both characterizations rely, among others, on an important result about a-nuclear operators, which is proved. This chapter is based on [57].

  Chapter 2 collects some topological properties of Cp(n,X), Namely, we obtain some resuits related to density of simple vector-valued functions in B(Z)®dpX (where B(X) denotes the space of all bounded Borei-measurabie scalar functions defined on O), complemented embeddings of C(Q) and X in Cp(n,X), and sequences in Cp(o,X). In this chapter, we also study the weak and weak* convergences of sequences in Cp(0,X).

  Chapter 3 focuses on a classical result of Analysis: integral representation of operators defined on continuous functions. In particular, we establish two integral representation theorems: one for operators S e L(C(0),L(X,Y)) (which extends the classical Bartle-Dunford-Schwartz representation theorem), and another for operators U e L(CP(Q,X),Y) (which extends the classical Dincuieanu-Singer representation theorem). We provide an alternative simpler proof of the latter result using the first one. We also build the needed integration theory. This chapter is based on [59].

  Chapter 4 deals with the associated operator U# defined in Chapter 3. Every operator U e L(Z®aX,Y) has an associated operator U# e L(Z,L(X,Y)) defined in a natural way. In this chapter, we study the problem of the existence of an operator U e L(Z®aX,Y) such that U# = S for a given operator S e L(Z,L(X,Y)), solving a long-standing conjecture by Dincuieanu. This chapter is based on [58].

  Chapter 5 is devoted to the study of absolutely (r,q)-summing operators from Cp(Q,X) to Y. We study the interplay between U, its associated operator U#, and its representing measure (built in Chapter 3). Since CM(fi,X) = C(Q,X), this encompasses not only the classical Swartz theorem about absolutely summing operators from C(fl,X) to Y but also its existing extensions, providing an improvement even to the Swartz theorem. Counterexamples are exhibited to indicate sharpness of our results. This chapter is based on [60].