Resumen de Desigualdades geométricas relativas.

Ana África Cerdán Sala

• A lo largo de la historia se han estudiado y demostrado numerosas desigualdades geométricas, La primera que se planteó y la más conocida es la desigualdad isoperimétrica plana. Posteriormente fueron apareciendo numerosas variantes de esta desigualdad y generalizaciones a dimensiones superiores, desarrollándose un gran campo de desigualdades geométricas que comparaban el valor de diferentes magnitudes geométricas de un conjunto.En paralelo a estas desigualdades fueron apareciendo numerosas desigualdades isoperimétricas relativas. En éstas se buscaba comparar el área (o el volumen en dimensiones superiores a dos) de un conjunto E con el perímetro relativo, entendiéndose por éste la medida de parte de la frontera de E, en particular la parte de la frontera que estaba incluida en otro conjunto G abierto (frontera relativa).La motivación de esta tesis ha sido extender el concepto de desigualdad isoperimétrica relativa al de desigualdad geométrica relativa, en la que se comparan otras magnitudes geométricas relativas además del área y el perímetro relativo.Si se considera G un conjunto abierto del espacio euclideo y se realiza una subdivisión de G por una curva continua en dos subconjuntos E y G\E con interior no vacío y frontera rectificable, se definen las desigualdades geométricas relativas como desigualdades que comparan magnitudes que proporcionan información sobre E, no de un modo absoluto sino en su relación con el conjunto ambiente G o su complementario G\E.: C1 mayor =m(E,G)/g(E,G)""a mayor =C2, donde m(E,G) y g(E,G) son magnitudes geométricas relativas y C1, C2 y a son constantes no negativas. Uno de los objetivos de esta tesis es obtener las constantes geométricas relativas, que se definen como el rnfimo y el supremo de la razón dada, así como los conjuntos para los que se alcanzan estas cotas, denominados maximizadores y minimizadores. También se estudiarán características y propiedades geométricas de l