Resumen de Estabilidad de los campos de Hopf en las esferas de Berger como puntos críticos de los funcionales volumen, energía, energía espacial y energía generalizada

Ana Hurtado Cortegana

• El objetivo de esta tesis es el estudio de diversas cuestiones relacionadas con la estabilidad de puntos críticos de algunos funcionales definidos en la variedad de los campos de vectores de una variedad riemanniana o lorentziana como son: volumen, energía, energía generalizada y energía espacial, En el capítulo 1 recordamos las definiciones y resultados sobre la primera y segunda variación de la energía y del volumen en variedades riemannianas y estudiamos estas mismas cuestiones cuando la métrica considerada sobre la variedad tiene signatura no nula y en especial cuando la métrica es lorentziana. Además introducimos algunos conceptos relacionados con sumersiones riemannianas necesarios para la definición de las denominadas esferas de Berger.

  En el capítulo 2 estudiamos la estabilidad de los campos de Hopf, que son los tangentes a las fibras de la fibración de Hopf, con respecto al volumen y la energía cuando consideramos en la esfera las métricas obtenidas al realizar la variación canónica de la sumersión riemanniana dada por la fibración de Hopf. Estas métricas se conocen con el nombre de métricas de Berger.

  Aunque el estudio en variedades lorentzianas de la energía de campos temporales unitarios no presenta muchas dificultades, las ecuaciones de Euler-Lagrange involucran el laplaciano ordinario que, en este caso, no es un operador elíptico. Pero más importante, como el funcional no está acotado inferiormente, no tiene sentido plantearse el estudio de minimizantes. Esto nos llevó a definir un nuevo funcional más adaptado a la situación, que llamamos energía espacial. Dedicamos el capítulo 3 al estudio de la energía espacial.

  Para finalizar, en el capítulo 4 estudiamos la estabilidad del campo característico de una variedad K-contacto al realizar homotecias de la métrica. En particular, estudiamos la estabilidad de los campos de Hopf en las esferas de Berger cuando variamos el radio.