Algunos problemas sobre teselaciones.

• Autores: María Pilar Sabariego Arenas
• Directores de la Tesis: Francisco Santos (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Cantabria ( España ) en 2008
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Jaime Gutiérrez Gutiérrez (presid.) , Pedro Antonio Ramos Alonso (secret.) , Michel Pocchiola (voc.) , Alberto Márquez Pérez (voc.) , Francesc Comellas (voc.)
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• Resumen

  • Esta tesis trata sobre dos problemas independientes, pero con el nexo común de que ambos involucran teselaciones del espacio Euclídeo, El primero es el estudio del máximo número de caras posibles para estereoedros de Dirichlet en dimensión tres. Los estereoedros de Dirichlet son las regiones de Voronoi de órbitas cristalográficas, y son el ejemplo prototípico de teselas monoedrales. Su estudio está relacionado con el problema XVIII de Hilbert. El resultado principal obtenido es que ningún estereoedro de Dirichlet del sistema cúbico puede tener más de 95 caras, lo cual mejora la cota de 162 establecida en una tesis anterior de esta universidad (Bochis, 2001) y la cota de 390 dada por Delone en los años 60. La razón por la que sólo se estudios los grupos cúbicos es que la cota obtenida para los demás en la citada tesis de Bochis se considera suficientemente buena.

    El segundo problema está relacionado con el estudio del diámetro óptimo de grafos circulantes, problema de interés en informática teórica por el uso de estos grafos para modelizar redes de computadores. En concreto, se estudian los llamados 'diagramas de mínima distancia', y se demuestra que una red circulante de triple lazo puede tener un número darbitrariamente grande de diagramas distintos. Esto contrasta con el hecho de que las redes de doble lazo sólo tienen dos diagramas de mínima distancia, además con una forma muy definida (L-formas). Los métodos utilizados en este apartado son algebraicos (iedeales binomiales, bases de Hilbert). En las últimas páginas de la tesis se relaciona este problema con el recubrimiento óptimo del espacio Euclídeo por tetraedros congruentes, lo cual está de nuevo estrechamente relacionado con el problema XVIII de Hilbert.