Resumen de La jacobiana de un cociente hiperelíptico de la curva de fermat y la ley de reciprocidad para las potencias séptimas

José Miguel Echarri Hernández

• El objeto de esta tesis es dar una demostración de la ley de reciprocidad para el símbolo de las potencias séptimas, utilizando la aritmética de la curva Y2 = X7 + 1/4, que es una curva hiperelíptica de género tres, Su inspiración principal ha sido un artículo de D.Grant en el que se prueba la ley de reciprocidad para el símbolo de las potencias quintas a partir de la aritmética de la curva Y2 = X5 + 1/4, que es una curva hiperelíptica de género dos.

  Respondiendo a una cuestión planteada explícitamente en este artículo nosotros mostramos cómo se deduce la ley de reciprocidad para el símbolo de las potencias séptimas a partir de la aritmética de una curva que es imagen racional de la curva de Fermat para p=7.

  Las principales técnicas utilizadas son el estudio del grupo formal en el origen de la jacobiana y los teoremas de la multiplicación compleja. Además, para probar las leyes complementarias construimos unidades análogas a las clásicas unidades elípticas evaluando funciones racionales en puntos de torsión.